SISTEMA PRICE NA MÃO E NA MAQUININHA DE R$ 2,00
BOATEMÁTICA
Objetivo
Com enfoque na Matemática Natural e no estudo dirigido, serão construídos conceitos por intermédio de situações (para fixar na estrutura mental, isto é aprender), objetivando obter o índice para cálculo de prestação no Sistema Price.
ALERTA: Siga o texto desde o início e não pule nenhuma linha.
PERIGO: Os quadros “Construindo e Concluindo a Teoria” só devem ser lidos depois de entendidas as situações. Tentar decorar as conclusões sem compreender destrói a temática das situações elaboradas para construir o conhecimento, e pode causar frustração.
O símbolo por cento %
O símbolo % significa por cento, dividido por cem, / 100.
Eu ganho R$ 40,00 por dia. Se trabalhar 2 dias ganharei R$ 40,00 + R$ 40,00 = R$ 40,00 x 2 = R$ 80,00.
Se eu ganho R$ 40,00 e recebo o dobro, recebo 2 x 40 = 80.
200% significa 200 por cento, 200 dividido por cem, 200 / 100 = 2.
200% = 200/100 = 2
Se eu ganho R$ 40,00 e recebo 200%, recebo 200/100, recebo o dobro, recebo 200% x 40, recebo 200/100 x 40, recebo 2 x 40 = 80.
Então, 200% x 40 = 200/100 x 40 = 2 x 40 = 80
Se eu ganho R$ 40,00 e recebo mais a metade desse valor de gratificação (metade = 1/2 = 0,5), recebo a mais 40 x metade = 40 x 1/2 = 40 x 0,5 = 20.
50% significa 50 por cento, 50 dividido por cem, 50 / 100 = 1/2 = 0,5.
50% = 50/100 = 1/2 = 0,5
Então, 50% x 40 = 50/100 x 40 = 1/2 x 40 = 0,5 x 40 = 20.
Se eu ganho R$ 40,00 e recebo mais um quarto desse valor de gratificação (um quarto = 1/4 = 0,25), recebo a mais 40 x um quarto = 40 x 1/4 = 40 x 0,25 = 10.
25% significa 25 por cento, 25 dividido por cem, 25 / 100 = um quarto = vinte e cinco centésimos.
25% = 25/100 = 1/4 = 0,25
Então, 25% x 40 = 25/100 x 40 = 1/4 x 40 = 0,25 x 40 = 10
CONSTRUINDO E CONCLUINDO A TEORIA
% significa dividido por 100, /100
1% = 1/100 = 0,01 (são 3 numerais que representam o mesmo número; 1 por cento equivale a 1 centésimo).
Por cento equivale à fração com denominador 100 e a centésimo).
100% = 100/100 = 1 (cem por cento é o próprio valor).
CÁLCULO DE PORCENTAGEM: multiplica o valor pela fração equivalente com denominador 100 ou multiplica o valor pelo número decimal.
Cálculo passo a passo de aumento
Um produto custava R$ 10.000,00 e teve um aumento de 10%. Qual o valor do aumento e qual o novo preço?
Aumento: 10% = 10/100 = 0,10 = 0,1
10.000 x 10/100 = 1.000
ou 10.000 x 0,10 = 1.000
ou 10.000 x 0,1 = 1.000
Novo preço: 10.000 + 1.000 = 11.000
Um produto custava R$ 11.000,00 e teve um aumento de 10%. Qual o valor do aumento e qual o novo preço?
Aumento: 10% = 10/100 = 0,10 = 0,1
11.000 x 10/100 = 1.100
ou 11.000 x 0,10 = 1.100
ou 10.000 x 0,1 = 1.100
Novo preço: 11.000 + 1.100 = 12.100
Um produto custava R$ 12.100,00 e teve um aumento de 10%. Qual o valor do aumento e qual o novo preço?
Aumento: 10% = 10/100 = 0,10 = 0,1
12.100 x 10/100 = 1.210
ou 12.100 x 0,10 = 1.210
ou 12.100 x 0,1 = 1.210
Novo preço: 12.100 + 1.210 = 13.310
Cálculo direto de aumento na máquina de calcular do Losada (ML)
A máquina de calcular do Losada - ML - é a máquina mais simples existente em grande quantidade em qualquer lugar. Chega a custar menos que um refrigerante grande. Tem apenas as 4 operações e a tecla %, M+, M-, MRC e algumas também raiz quadrada. Porém, didaticamente, embora não seja possível realizar alguns cálculos, facilita o entendimento pela sua linguagem simples, praticidade e sistema operacional.
Um produto custava R$ 10.000,00 e teve um aumento de 10%. Qual o novo preço?
Na ML, quando digitamos o valor da porcentagem e apertamos a tecla %, a maquininha divide automaticamente por cem, mas só depois de já existir um valor e uma operação. Quando digitamos o número 10 e a tecla %, o sistema operacional transforma automaticamente 10 % em 10/100, 10% em 0,1.
Na ML, os números devem ser escritos diretamente sem o ponto: 10.000 = 10000, pois o ponto significa vírgula. O ponto (.) significa vírgula dos centavos: 10.000 na ML significa 10,000 (dez reais).
É muito simples calcular o novo preço na ML, é como se a maquininha falasse: 10000 + 10% aparece no visor 11000
Um produto custava R$ 11.000,00 e teve um aumento de 10%. Qual o novo preço?
É muito simples calcular o novo preço na ML, é como se a maquininha falasse: 11000 + 10% aparece no visor 12.100
Um produto custava R$ 12.100,00 e teve um aumento de 10%. Qual o valor do aumento e qual o novo preço?
É muito simples calcular o novo preço na ML, é como se a maquininha falasse: 12100 + 10% aparece no visor 13310.
CONSTRUINDO E CONCLUINDO A TEORIA
PORQUÊ A MÁQUINA DO LOSADA (ML): utilizamos a maquininha didaticamente porque seu sistema operacional é similar à linguagem informal e facilita o aprendizado.
CÁLCULO DIRETO DE AUMENTO NA ML: digita o valor, a tecla +, a porcentagem, a tecla % e aparece o valor com aumento no visor.
Outro cálculo direto de aumento na máquina de calcular do Losada (ML) para obter a propriedade (1 + i)
Um produto custava R$ 10.000,00 e teve um aumento de 10%. Qual o novo preço?
Na ML: 10000 + 10% aparece no visor 11000, então, estamos somando 10000 com 10% de 10000, ou seja, 100% de 10000 + 10% de 10000. Portanto, 100% + 10% = 110% = 1 + 0,1 = 1,1.
Para criar propriedades, diferenciamos porcentagem com o símbolo % (p) e número decimal (i). Chamamos p = 10%, i = 0,1.
(100% + p) = (1 + i)
10.000 x 110% = 10.000 x 1,1 = 11.000
Seja M o meu novo preço e C o valor que custava antes:
M = C x (100% + p) ou
M = C x (1 + i)
Na ML: 10000 x 110% aparece no visor 11000
CONSTRUINDO E CONCLUINDO A TEORIA
CÁLCULO DIRETO DE AUMENTO NA ML: digita o valor, a tecla x, digita o valor já somado (100 + p), a tecla % e aparece o valor com aumento no visor.
CÁLCULO DE AUMENTO NA PROPRIEDADE:
M = C x (100% + p) ou
M = C x (1 + i)
Poupança – juros compostos
Apliquei R$ 10.000,00 em caderneta de poupança, durante 3 meses. Sabendo que as 3 taxas foram de 10% ao mês, e que não houve retirada nem depósito, qual o saldo no final dos 3 meses?
ML: 10000 + 10% (aparece no visor 11000) + 10% (aparece no visor 12100 + 10% aparece no visor 13310. Ou, na ML:
10000 x 110% (aparece no visor 11000) x 110% (aparece no visor 12100 x 110% aparece no visor 13310. Ou, na ML:
10000 x 1.1 (aparece no visor 11000) x 1.1 (aparece no visor 12100) x 1.1 (aparece no visor 13310).
Notamos que 10.000 x 1,1 x 1,1 x 1,1 = 10.000 x 1,13 = 10.000 x 1,331 = 13.310. Assim, sendo n = período de aplicação = 3, substituindo pelas letras correspondentes, obtemos a seguinte propriedade para juros compostos:
M = C x (1 + i)n
O meu valor com aumento (M), que era o saldo da poupança, é chamado Montante ou Valor Futuro (FV) em Matemática Financeira.
O preço que custava (C), que era o depósito na poupança, é chamado Capital Inicial ou Valor Presente (PV) em Matemática Financeira.
Em enunciado de juros compostos, a situação acima será escrita:
Apliquei R$ 10.000,00 a juros compostos, durante 3 meses, com taxa de 10% ao mês. Qual o montante?
C = R$ 10.000,00
p = 10%
i = 0,1
n = 3
M = ?
M = C x (1 + i)n = 10.000 x (1 + 0,1)3 = 10.000,00 x 1,13 = 13.310,00
CONSTRUINDO E CONCLUINDO A TEORIA
CÁLCULO DIRETO DE AUMENTO NA ML: digita o valor, a tecla x, digita o valor já somado (100 + p) , a tecla %, e repete x (100 + p) %, ou, em vez de (100 + p) %, multiplica por (1 + i).
CÁLCULO DE AUMENTO NA PROPRIEDADE:
M = C x (1 + i)n
Determinação do capital inicial (C) para entender o Sistema Price
Fiz uma aplicação a juros compostos, durante 3 meses, a 10% ao mês, obtendo montante de R$ 13.310,00. Qual o capital inicial?
É a mesma situação acima, mas não sabemos que C = 10.000, e precisamos determinar. 13.310 foi obtido multiplicando C por 1,1, por 1,1 e por 1,1.
Assim, para encontrar C fazemos a operação inversa de multiplicar por 1,1, que é dividir por 1,1:
13.310 / 1,1 / 1,1 / 1,1
Na ML, o sistema operacional fixa a operação (/) e 1.1, bastando digitar a tecla de igualdade (=):
Na ML: 13310 / 1.1 (aparece no visor 12100), digita apenas a tecla = (aparece no visor 11000), digita apenas a tecla = (aparece no visor 10000).
Resumindo, na ML: 13310 / 1.1 = = = (aparece no visor 10000)
Pela propriedade C = M / (1 + i)n
C = M / (1 + i)n
C = 13310 / (1 + 0,1)3
C = 13310 / 1,13
C = 13310 / 1,331
C = 10000
CONSTRUINDO E CONCLUINDO A TEORIA
CÁLCULO DO CAPITAL INICIAL NA ML: digita o valor, a tecla /, digita o valor já somado (1+ i), e digita a tecla (=) n vezes.
CÁLCULO DE AUMENTO NA PROPRIEDADE:
C = M / (1 + i)n
Sistema Price postecipado
A prestação é o montante (M) em juros compostos com uma data a pagar (vencimento), que corresponde ao período de prestação.
Cada prestação tem um vencimento, portanto os períodos são diferentes e os capitais iniciais (C) são diferentes.
Para saber o valor à vista somamos os capitais.
Fiz uma aplicação a juros compostos, a 10% ao mês, obtendo montante de R$ 13.310,00. Qual o capital inicial para um período de:
a) 3 meses?
É a situação já resolvida acima:
Dividindo 3 vezes por 1,1: 13.310 / 1,1 / 1,1 / 1,1 = 10.000
Pela propriedade C = M / (1 + i)n
C = 13310 / 1,13
C = 13310 / 1,331
C = 10000
Na ML: 13310 / 1.1 = = = (aparece no visor 10000).
b) 2 meses?
Dividindo 2 vezes por 1,1: 13.310 / 1,1 / 1,1= 11000
Pela propriedade M = C x (1 + i)n
C = 13310 / 1,12
C = 13310 / 1,21
C = 11000
Na ML: 13310 / 1.1 = = (aparece no visor 11000).
c) 1 mês?
Dividindo 1 vez por 1,1: 13.310 / 1,1 = 12100
Pela propriedade C = M / (1 + i)n
C = 13310 / 1,1
C = 13310 / 1,1
C = 12100
Na ML: 13310 /1.1 = (aparece no visor 12100).
Financiei um automóvel pelo Sistema Price, em 3 vezes de R$ 13.310,00, com taxa de 10% ao mês, para pagar a partir do mês seguinte. Hoje é 19/04/2009 e os vencimentos são: 19/05/2009 – R$ 13.310,00, 19/06/2009 – R$ 13.310,00, 19/07/2009 – R$ 13.310,00. Qual o valor à vista, ou seja, qual o valor hoje, 19/04/2009?
19/07/2009 – R$ 13.310,00, o valor do capital inicial hoje, já calculado na situação acima para n = 3:
13.310 / 1,1 / 1,1 / 1,1 = 10.000, ou, pela fórmula:
C = 13310 / 1,13 = 10.000
Na ML: 13310 / 1.1 = = = (aparece no visor 10000).
19/06/2009 – R$ 13.310,00, o valor do capital inicial hoje, já calculado na situação acima para n = 2:
13.310 / 1,1 / 1,1 = 11.000, ou, pela fórmula:
C = 13310 / 1,12 = 11.000
Na ML: 13310 / 1.1 = = (aparece no visor 11000).
19/05/2009 – R$ 13.310,00, o valor do capital inicial hoje, já calculado na situação acima para n = 1:
13.310 / 1,1 = 12.100, ou, pela fórmula:
C = 13310 / 1,1= 12.100
Na ML: 13310 / 1.1 = (aparece no visor 12100).
Na prática, basta somar os 3 capitais: 12.100 + 11.000 + 10.000 = 33.100.
Portanto, o valor à vista do automóvel financiado pelo Sistema Price postecipado em 3 parcelas iguais de R$ 13.310,00, juros de 10% ao mês, é R$ 33.100,00.
CONSTRUINDO E CONCLUINDO A TEORIA
SISTEMA PRICE POSTECIPADO: parcelas iguais que correspondem ao montante em juros compostos.
CÁLCULO DO VALOR À VISTA: Calculamos os capitais mês a mês. Somamos os capitais para cada período, de 1 a n. A soma desses capitais será o valor à vista (Vv).
(Vv) = [M / (1 + i)n] + [M / (1 + i)n - 1] +.... + [M / (1 + i)1]
Cálculo do valor à vista no Sistema Price (Vv)
Utilize a propriedade acima para calcular o valor à vista do automóvel financiado pelo Sistema Price postecipado em 3 parcelas iguais de R$ 13.310,00, juros de 10% ao mês.
(Vv) = [M / (1 + i)n] + [M / (1 + i)n - 1] +.... + [M / (1 + i)1]
(Vv) = [13.310 / (1 + 0,1)3] + [13.310 / (1 + 0,1)2] + [13.310 / (1 + 0,1)]
(Vv) = [13.310 / (1,1)3] + [13.310 / (1,1)2] + [13.310 / (1,1)]
(Vv) = [13.310 / 1,331] + [13.310 / 1,21] + [13.310 / 1,1]
(Vv) = 10.000 + 11.000 + 12.100 = 33.100
Cálculo do valor à vista no Sistema Price com a ML
Utilize a resolução acima para calcular na ML o valor à vista do automóvel financiado pelo Sistema Price postecipado em 3 parcelas iguais de R$ 13.310,00, juros de 10% ao mês.
Na ML, a tecla M+ guarda o valor na memória, somando com os ali já guardados.
Na ML, a tecla MRC mostra o resultado das operações guardadas através da tecla M+ e da tecla M –
Na ML, quando fazemos a operação de divisão a / b, ela fixa a operação divisão por b. Quando apertamos a tecla =, ela continua dividindo o resultado obtido por b.
Com esse sistema operacional, é fácil calcular o valor à vista:
Digitar 13310, tecla /, digitar 1.1, tecla = (aparece no visor 12100), tecla M+ (guarda na memória), tecla = (aparece no visor 11000), tecla M+ (soma 12100 com 11000 na memória), tecla = (aparece no visor 10000), tecla M+ (soma 10000 com o que já estava na memória: 12100 + 11000 + 10000), MRC (aparece no visor o valor à vista 33100).
Resumindo na ML o processo para determinar Vv:
13310 / 1.1 = M+ = M+ = M+ MRC (aparece no visor 33100).
CONSTRUINDO E CONCLUINDO A TEORIA
CÁLCULO DO VALOR À VISTA NA ML:
Prestação / (1 + i) = M+ = M+ = .... M+ MRC (aparece no visor o valor à vista).
Determinação do Índice Price (Ip) por progressão geométrica (PG)
Utilize a propriedade acima para mostrar que o valor à vista do automóvel financiado pelo Sistema Price postecipado em 3 parcelas iguais de R$ 13.310,00, juros de 10% ao mês, pode ser calculado por progressão geométrica, chegando ao Índice Price e a uma propriedade para encontrar o Índice Price.
(Vv) = [M / (1 + i)n] + [M / (1 + i)n - 1] +.... + [M / (1 + i)1]
(Vv) = [13.310 / (1 + 0,1)3] + [13.310 / (1 + 0,1)2] + [13.310 / (1 + 0,1)]
Usando a propriedade de fração:
(Vv) = [13.310 x 1/(1 + 0,1)3] + [13.310 x 1/(1 + 0,1)2] + [13.310 x 1/(1 + 0,1)]
Colocando em evidência o fator comum 13.310:
(Vv) = 13.310 x [1/(1 + 0,1)3 + 1/(1 + 0,1)2 + 1/(1 + 0,1)]
(Vv) = 13.310 x [(1/ 1,1)3 + (1/ 1,1)2 + (1/ 1,1)]
Ip = Soma dos termos de PG: (1/ 1,1)3 + (1/ 1,1)2 + (1/ 1,1) = (1/ 1,1)3 + (1/ 1,1)2 + 1/ (1,1) = 0,9090909 + 0,8264462 + 0,7513147 = 2,4868518
Portanto, (Vv) = 13.310 x 2,4868518 = 33.100
(Vv) = Prestação x Ip.
Usando a propriedade da soma dos termos de PG e simplificando pela razão, surge a propriedade:
Ip = [1 – (1 / 1 + i) n ] / i
Utilize a propriedade deduzida acima para determinar o Índice Price, encontre Ip para taxa de 10% e período de 3 meses.
Ip = [1 – (1 / 1 + i) n ] / i = Ip = [1 – (1 / 1 + i) n ] / i =
1 – (1 / 1,1) 3 ] / 0,1 = 2,4868518
Determinação do valor à vista utilizando Índice Price (Ip)
Calcule o valor à vista do automóvel financiado pelo Sistema Price postecipado em 3 parcelas iguais de R$ 13.310,00, juros de 10% ao mês utilizando o IP
(Vv) = 13.310 x [(1/ 1,1)3 + (1/ 1,1)2 + 1/ (1,1)], onde
[(1/ 1,1)3 + (1/ 1,1)2 + 1/ (1,1)] = Ip
Portanto: (Vv) = 13.310 x Ip
(Vv) = 13.310 x 2,4868518 = 33.099,99 = 33.100
Determinação da prestação utilizando Índice Price (Ip)
Sabendo que o valor à vista do automóvel financiado pelo Sistema Price postecipado em 3 parcelas iguais é R$ 33.100,0, com juros de 10% ao mês, calcule o valor da prestação utilizando o Ip.
33.100 = prestação x [(1/ 1,1)3 + (1/ 1,1)2 + (1/ 1,1)], onde
33.100 = prestação x Ip
33.100 / Ip = prestação
33.100 / 2,4868518 = prestação = 13.310
Determinação do Índice Price (Ip) na maquininha do Losada (ML)
Utilize a ML para determinar o valor à vista do automóvel financiado pelo Sistema Price postecipado em 3 parcelas iguais de R$ 13.310,00, juros de 10% ao mês. Determine uma propriedade na ML a partir do sistema operacional da maquininha para encontrar o Índice Price.
(Vv) = 13.310 x [(1/ 1,1)3 + (1/ 1,1)2 + (1/ 1,1)]
Na ML, a tecla M+ guarda o valor na memória, somando com os ali já guardados.
Na ML, a tecla MRC mostra o resultado das operações guardadas através da tecla M+ e da tecla M –
Na ML, quando fazemos a operação de divisão a / b, ela fixa a operação divisão por b. Quando apertamos a tecla =, ela continua dividindo o resultado obtido por b.
Na ML: (1/ 1,1) + (1/ 1,1)2 + (1/ 1,1)3 = 1 / 1.1 (aparece no visor 0.9090909) M+ (guarda esse valor na memória) = (divide por 1.1 e aparece no visor 0.8264462) M+ (soma esse valor na memória) = (divide por 1.1 e aparece no visor 0.7513147) M+ (soma esse valor na memória) MRC (aparece o resultado das somas 2.4868518, que é o Índice Price).
Resumindo o processo para encontrar Ip na ML:
Ip = 1 / (1+ i) = M+ =....= M+ MRC (aparece no visor o Ip)