Derivada definida como tangente

Prof. Roberto Losada Pratti

DERIVADA DEFINIDA COMO TANGENTE

    Se um automóvel estiver a 100 km/h, depois de uma hora percorreu 100 km, depois de 2 horas percorreu 200 km, depois de 3 horas percorreu 300 km.

    Se eu não soubesse que a velocidade é 100 km/h, mas soubesse que percorreu 300 km em 3 horas, qual seria sua velocidade média?

    É uma conta de dividir que qualquer criancinha faz: 300 / 3 = 100

    Se fosse revolver como na escola, com a Matemática escolar ou a Física escolar, seria complicado para alguns, pois seria trigonometria, dividir o cateto oposto pelo cateto adjacente, que é a definição de tangente.

    Mas para nós é a velocidade igual em qualquer instante, é a velocidade instantânea, em qualquer lugar está a 100 km/h..

DERIVADA EM UM PONTO

         Dado um gráfico e um ponto P desse gráfico, DERIVADA é um número que equivale à tangente do ângulo formado pela reta que toca o gráfico em P e o eixo das abscissas (eixo x).

Portanto, conhecer a derivada significa conhecer a tangente e, conseqüentemente, o ângulo formado pela reta que passa por P e o eixo x.

CÁLCULO DA DERIVADA

A derivada é calculada por meio de uma função, chamada função derivada ou derivada, que determina a tangente, porém, para entender o que é derivada, calcularemos de 2 outras maneiras.

DERIVADA MEDINDO LADOS DO TRIÂNGULO

Dados um gráfico e um ponto P, traça-se a reta que toca o gráfico. Constrói-se um triângulo retângulo qualquer. Mede-se cada lado com uma régua. Divide-se a medida do lado da frente do ângulo (cateto oposto) pela medida do lado que forma o ângulo (cateto adjacente). O quociente é a tangente, ou seja, o reultado da divisão, que é um número, é a derivada.

EXEMPLO

Na figura acima, traçamos a reta que toca o ponto P do gráfico e construímos um triângulo retângulo qualquer.  Medimos com régua. Cateto oposto  = 12, cateto adjacente = 4

tga = cateto oposto/cateto adjacente

tga = 12 / 4 = 3

derivada = tga = 3

derivada = 3      

DERIVADA CALCULADA POR MEIO DE PONTOS

Em um gráfico cartesiano, traça-se a reta que toca o ponto P. São escolhidos 2 pontos quaisquer da reta (não há necessidade de ser P nem a raiz, como no exemplo abaixo). Divide-se a medida do cateto oposto (diferença dos y, Dy) pela medida do cateto adjacente (diferença dos x, Dx). O resultado é a tangente, ou seja, é a derivada.

Derivada = Dy / Dx

EXEMPLO

Vamos construir um triângulo retângulo que tem como vértice P (6,4) e Q (-2,0).

Observe a figura. O cateto oposto mede 4. O cateto adjacente mede 8 ( de -2 a 6 temos 6 + 2 = 8).

tga = cateto oposto/cateto adjacente

tga = 4 / 8 = ½ = 0,5

derivada = tga = 0,5

derivada = 0,5

Este exemplo pode ser calculado sem a figura, apenas pelos pontos:

P (6,4) = (x₁, y₁) 

Q (-2,0) = (x₂, y₂)

Cateto oposto = y₁ -  y₂ = diferença dos y = Dy  = 4-0 = 4

Cateto adjacente = x₁ -  x₂ = diferença dos x = Dx  = 6-(-2) = 6 + 2 = 8

tg a = cateto oposto / cateto adjacente

tg a = (y₁ -  y₂) / (x₁ -  x₂)

tg a = diferença dos y / diferença dos x

tg a = Dy / Dx

tg a = 4-0 / 6-(-2)

tga = 4 / 8 = ½ = 0,5

derivada = tga = 0,5

derivada = 0,5

DEFINIÇÃO FORMAL DE DERIVADA EM UM PONTO

         A definição formal de DERIVADA EM UM PONTO usa limite.

         No livro da bibliografia, Cálculo Diferencial e IntegraL, de autoria de Paulo Boulos, página 77, DERIVADA de uma função f EM UM PONTO x₀ , indicada por f ’(x₀), é definida como

f ’(x₀) é um número que equivale à tangente do ângulo da reta que toca o gráfico no ponto P.

ESTUDO DE TANGENTE

tg 0º = 0. Se o ângulo for zero, a tangente é zero. Este fato, tg 0º = 0, é útil em derivada para encontrar máximo e mínimo de uma função. Uma aplicação em administração, por exemplo, é determinar o lucro de uma empresa, o que pode ser feito no exercício das páginas 84 e 85 do livro do Leithlold (abaixo, encerrando este resumo), e no Exemplo 4, página 150.

tga é positiva. Para ângulos até 90º, a tangente (derivada) é positiva e cresce até o infinito. Isto é útil para saber se a função é crescente. Por exemplo, em Administração, é possível saber, dada uma função que representa o lucro da empresa, se o lucro está crescendo com relação a uma variável.

Para 90º, tg 90º não existe.

tgb é negativa. Para ângulos maiores que 90º e menores do que 180º, a tangente (derivada) é negativa, o que é útil para saber se a função é decrescente. Por exemplo, em Administração, é possível saber, dada uma função que representa o lucro da empresa, se o lucro está diminuindo com relação a uma variável.

Observações:

Tangente de um ângulo pode ser chamada de inclinação da reta.

A reta que toca o gráfico em um único ponto pode ser chamada de reta tangente.

No curso de Administração na UNIESP, em Matemática, na função f(x) = ax + b, a é o coeficiente angular e corresponde à tangente do ângulo que a reta forma com o eixo X. Por exemplo, o Junior deve ter dado a função f(x) = 2.x – 6, a tangente é 2, que é o coeficiente angular e derivada.

TANGENTE NO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

         O círculo de raio 1 é “cortado” por 2 eixos perpendiculares. O 3º eixo, à direita, é o eixo das tangentes. O círculo está marcado em graus. Para encontrar a tangente traça-se uma reta a partir do centro passando pelo grau desejado até encontrar o eixo das tangentes, que está graduado.

           tg 45º = 1. Traça-se reta, a partir do centro, passando pelo ângulo de 45 º, até encontrar o eixo das tangentes. Lê-se o número correspondente, que é 1.

           tg 135º = -1. Traça-se uma reta, a partir do centro, passando pelo ângulo de 135 º, até encontrar o eixo das tangentes. Lê-se o número correspondente, que é -1.

EXEMPLO DE DERIVADA

Na figura:

         tga é positiva. A reta r toca o gráfico no ponto R e forma ângulo a < 90º, então tg a (derivada) é positiva. A função é crescente.

         tgb é negativa. A reta s toca o gráfico no ponto S e forma ângulo a > 90º, então tg a  (derivada) é negativa. A função é decrescente.

         tg 0º = 0. A reta p  toca o gráfico no ponto P, que é ponto de máximo, e é paralela ao eixo x, a = 0º, então tga (derivada) = 0  .

FUNÇÃO DERIVADA

         Em Administração, é interessante encontrar uma FUNÇÃO DERIVADA, ou seja, uma função que determine a tangente em cada ponto do domínio da função dada. Assim, não precisaremos fazer como na introdução deste estudo em que dividimos a medida do cateto oposto (Dy) pela medida do cateto adjacente(Dx).

ALGUMAS FUNÇÕES DERIVADAS IMPORTANTES

1) POTÊNCIA

f(x) = xⁿ , f’(x) =  n.x^{n - 1}

Exemplos:

a) f(x) = x² , f’(x) = 2 . x

b) f(x) = x³ , f’(x) = 3 . x²

c) f(x) = x, f’(x) = 1

2) MULTIPLICAÇÃO DE FUNÇÃO POR CONSTANTE

c.f (x) onde c é constante, [c.f (x)]’ = c . f’(x)

Observação: A notação em que se coloca uma vírgula em cima significa derivada.

Exemplos:

a) f(x) = 4 x² , f ’(x) = 2 . 4 . x = 8 x

b) f(x) = 5 x³ , f ’(x) = 3 . 5. x² = 15 x²

c) f(x) = 2 x, f ’(x) = 2

3) CONSTANTE

f(x) = c, f ’(x) = 0

Exemplos:

a) f(x) = 3, f ’(x) = 0

b) f(x) = - 12, f ’(x) = 0

c)  f(x) = p, f ’(x) = 0

4) SOMA E DIFERENÇA DE FUNÇÕES

(f + g)(x) = f ’ (x) + g’ (x)

(f - g)(x) = f ’ (x) - g’ (x)

Exemplos:

a) f(x) = x  , g(x) = 7  , h(x) = (f + g)(x) = x  + 7  

h’(x) = (f + g)’(x) = f ’ (x) + g’ (x) = (x)’ + (7)’ = 1  + 0 = 1

Observação: Embora a propriedade pareça difícil, é simples, basta fazer a derivada de cada termo.

b) f(x) = -3 x  +  2,5,  f ’(x) = -3  

c) f(x) = 2.x – 6, f’(x) = 2

d) f(x) = x²  - 4 x  + 3, f ’(x) = 2.x - 4

d)f(x) = x¹⁰  + x⁹ , f ’(x) = 10 x⁹  + 9 x⁸

d) (3x²⁰  + 2x⁹  + 5 x - 4)’ = 60 x¹⁹  + 18x⁸  + 5

5) PRODUTO

(f.g)’(x) = f ’(x) . g(x) + f(x) . g’(x)

[(2.x + 3) . (3.x – 1)]’ =

(2.x + 3)’ . (3.x – 1) + (2.x + 3) . (3.x – 1)’ =

2 . (3.x – 1) + (2.x + 3) . 3 =

6.x – 2 + 6.x + 9 =

12.x + 7

6) QUOCIENTE

(f/g)’(x) =    [f’(x) . g(x) – (f(x) . g’(x)] / g²(x)

 Exemplo:

[ (x² -1) / (x + 3)] ’

=    [(x² -1) ’ (x + 3) - (x -1) ² (x + 3)’] /  (x + 3)²

=   [ 2 x (x + 3) - (x² -1)  ] /(x + 3)²

 =  x²  + 6x +1 /  (x + 3)²

DEFINIÇÃO FORMAL DE FUNÇÃO DERIVADA

         A definição formal de FUNÇÃO DERIVADA, ou simplesmente DERIVADA, também usa limite e é similar à derivada em um ponto.

No livro do Leithold, está definida na página 86:

         A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO f é a FUNÇÃO f ’ tal que seu valor em todo número x do domínio de f seja dada por

SIMBOLOGIA DE LEIBNIZ

         Leibniz usava a seguinte nomenclatura para derivada:

CÁLCULO DAS TANGENTES

         Agora não precisamos mais construir triângulos para saber a tangente. Por exemplo, vamos calcular a tangente em alguns pontos na função vista em Matemática, f(x) = x² – 4.x + 3

         Observando o gráfico, a > 90º, então a tangente é negativa, ou seja, a função é decrescente. À esquerda do x do vértice, ou seja, valores menores do que 2, a tangente é negativa.

         Se x = 2, ponto de inflexão onde a parábola “entorta” e “volta”, o ângulo é 0, ou seja, no ponto de mínimo tg 0º = 0.

         b > 90º, então a tangente é positiva, ou seja, a função é decrescente. À direita do x do vértice, ou seja, valores maiores do que 2, a tangente é negativa.

DERIVADA DE f(x) = x² – 4.x + 3

         f(x) = x² – 4.x + 3, f ’(x) = (x² – 4.x + 3)’ =  2.x – 4

         Portanto, f ’(x) =  2.x – 4

PONTO DE INFLEXÃO DE f(x) = x² – 4.x + 3

         Em Matemática, o x do vértice foi calculado por função do 2º grau, obtendo x_v = 2

         No vértice, a derivada = 0, isto é, tga = 0

         f ’(x) =  2.x – 4 = 0

         Basta resolver a equação do 1º grau para encontrar x_v

         2.x – 4 = 0

         2.x  = 4

         x  = 4/2

         x_v = 2

         Para verificar se realmente x = 2 é vértice, calculamos

         f ’(x) =  2.x – 4

         f ’(2) =  2.2 – 4 = 0

         Quando substituímos x em f ’(x) NÃO ENCONTRAMOS y, ENCONTRAMOS tga

f ’(x) CALCULA  tga

         A função derivada calcula a tangente. Calcule as tangentes das retas que tocam a parábola f(x) = x² – 4.x + 3 nos seguintes pontos:

         a) x = -1, b) x = 0, c) x = 1, d) x = 2, e) x = 3

         Em vez de construirmos triângulos, como no começo deste resumo, encontramos a função derivada e calculamos a tangente.

         f(x) = x² – 4.x + 3, f ’(x) = 2.x – 4

a)    x = -1

tga = f ’(x) = 2.x – 4 = f ’(-1) = 2.(-1) – 4 = -6

b)    x = 0

tga = f ’(x) = 2.x – 4 = f ’(0) = 2.(0) – 4 = -4

c)    x = 1

tga = f ’(x) = 2.x – 4 = f ’(1) = 2.(1) – 4 = -2

d)    x = 2

tga = f ’(x) = 2.x – 4 = f ’(2) = 2.(2) – 4 = 0

e)    x = 3

tga = f ’(x) = 2.x – 4 = f ’(3) = 2.(3) – 4 = 2     

PONTO DE MÁXIMO E PONTO DE MÍNIMO

         Quando a reta que toca o gráfico é paralela ao eixo x, o ângulo é zero, a tangente do ângulo com o eixo dos X é zero, portanto a derivada é igual a zero, tg 0º = 0.

         O exercício da página 84 do Leithold é um exemplo de aplicação em Administração, que foi resolvido em Matemática, pelo Junior, como ponto de máximo em função do 2º grau.

         Um fabricante de relógios estima que, se o preço de cada relógio for x, o lucro semanal será L(x) = - x² + 140x – 1875.

a) Qual o preço de venda para que o lucro semanal seja máximo? b) Qual o lucro máximo? 

a) O preço do relógio para que o lucro semanal seja máximo ocorre no ponto M, onde a reta não forma ângulo com o eixo X, é paralela, ou seja, ângulo é igual a zero, portanto a tangente do ângulo (derivada) é zero. A função derivada determina a tangente, que é zero, tg 0º = 0.

L(x) = - x² + 140x – 1875

L’(x) = - 2x  + 140 = 0

140 = 2x

140/2 = x = 70

Resposta: O preço de venda de cada relógio é R$ 70,00.

b) L(x) = - x² + 140x – 1875

    L(70) = - 70² + 140 . 70 – 1875 = -4.900 + 9.800 – 1.875 = 3.025.

Resposta: O lucro semanal máximo será R$ 3.025,00.