Potência na ML e matemática financeira

            Utilize a ML (maquininha do Losada, maquininha simples com as 4 operações) para calcular as potências.

As calculadoras de computador e alguns celulares têm a mesma propriedade da ML.

a é a base diferente de 1

m é o expoente e é um número real

b é o resultado, a potência

            Vamos escrever o que consta na tabela:

2² = 2 x 2 = 4

2³ = 2 x 2 x 2 = 8

2⁴ = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

2⁶ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

2⁷ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 = 128

2⁸ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 x 2 = 256

2⁹ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 x 2 x 2 = 512

2¹⁰ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024

Podemos escrever simplesmente:

2² = 4

2³ = 8

2⁴ = 16

2⁵ = 32

2⁶ = 64

2⁷ = 128

2⁸ = 216

2⁹ = 512

2¹⁰ = 1024

            Dê o resultado: 4 x 8 = 32

            Substituindo 4 por 2² e 8 por 2³ temos

4 x 8 = 2² x 2³ = (2 x 2) x (2 x 2 x 2) =  2 x 2 x 2 x 2 x 2 x = 2⁵ = 32

            Observe que havia o 2 aparece 5 vezes, duas vezes do 4 e três vezes do 8, ou seja, na multiplicação os expoentes são somados.

2² x 2³ = 2^{2 + 3} = 2⁵

            Isso vale sempre, assim podemos escrever a propriedade:

Exemplos:

2² x 2³ = 2^{2 + 3} = 2⁵

2¹⁰ x 2⁶ = 2^{10 + 6} = 2¹⁶

3² x 3³ = 3^{2 + 3} = 3⁵

8² x 8⁴ = 8^{2 + 4} = 8⁶

1,1¹⁵ x 1,1²⁰ = 1,1^{15 + 20} = 1,1³⁵

5^1/2 x 5^1/2 = 5^{1/2 + 1/2} = 5¹

2³ x 2³ = 2^{3 + 3} = 2⁶

            8 x 8 = 8² = 64

            2³ x 2³ = 2^{3 + 3} = 2^{3 x 2}= 8² = (2³)^{x 2} =  (2³) ² = 8² = 2⁶ = 64

            Resumindo: (2³) ² = 2^{3 x 2} = 2⁶

            A propriedade de potência de potência é:

Exemplos

            (2³) ² = 2^{3 x 2} = 2⁶

            (75³) ² = 75^{3 x 2} = 75⁶

            (11⁷⁰) ¹⁰ = 11^{70 x 10} = 11⁷⁰⁰

DIVISÃO

            32/4 = 8

            32 =  2⁵ e 4 = 2²

            32/4 = 2⁵ / 2² = (2x2x2x2x2) / (2x2)

            Cancelando os números

                  (2x2x2x2x2) / (2x2) = 2x2x2 = 2³ = 8

            Observe que havia 5 números em cima e foram cancelados por 2, restando 3, ou seja 5 – 2 = 3

            Resumindo  

            2⁵ / 2² = (2x2x2x2x2) / (2x2) = (2x2x2x2x2) / (2x2) = 2x2x2 = 2^5-2 = 2³ = 8

            Isso vale sempre, assim podemos escrever a propriedade:

a^m / aⁿ = a^{m - n}

Exemplos

2⁵ / 2² = 2x2x2x2x2 /2x2 = 2x2x2x2x2 /2x2 = 2^{5 – 2} = 2³

100⁵ / 100² = 100x100x100x100x100 /100x100 = 100x100x100x100x100 /100x100 = 100^{5 – 2} = 100³

55⁹ / 55³ = 55^{9 – 3} = 55⁶

7⁵ / 7 = 7^{5 – 1} = 7⁴

2,718³⁰ / 2,718¹⁰ = 2,718^{30 – 10} = 2,718²⁰

EXPOENTE ZERO

        2³ = 2x2x2 = 8

            8 / 8 = 1

            2³ / 2³ = (2x2x2) / (2x2x2) = (2x2x2) / (2x2x2) = 2^{3 - 3} = 2⁰ = 1

            Estamos diante de uma dificuldade, pois é estranho 2⁰ = 1, ou seja, um número elevado a nada resultar 1. Mas, para a propriedade da divisão continuar válida, definimos que um número elevado a zero resulta 1, e “salvamos” a propriedade.

            Por isso, embora estranho, define-se (para a propriedade da divisão de potências continuar valendo):

a⁰ = 1

Exemplos

3² = 3x3 = 9

9 / 9 = 1

3² / 3² = 3x3 / 3x3 = 3x3 / 3x3 = 1 / 1 = 3^2-2 = 3⁰ = 1

3⁰ = 1

10⁴ = 10x10x10x10 = 10.000

10.000 / 10.000 = 1

10⁴ / 10⁴ = 10x10x10x10 / 10x10x10x10 = 10x10x10x10 / 10x10x10x10 = 1 / 1 = 10^4-4 = 10⁰ = 1

10⁰ = 1

5³ = 5x5x5 = 125

125 / 125 = 1

5³ / 5³ = 5x5x5 / 5x5x5 = 5x5x5 / 5x5x5 = 5^3-3 = 5⁰ = 1

            4 = 2²

            32 =  2⁵

            4/32 = 1/8

            4/32 = 1/8 =  (2x2) / (2x2x2x2x2) = 2² / 2⁵

            Cancelando os números

             (2x2) / (2x2x2x2x2) = 2² / 2⁵ = (1x1) / (1x1x2x2x2) = 1/2³

            (2x2) / (2x2x2x2x2) = 2² / 2⁵ = 1/2³

            Resumindo  

            2² / 2⁵ = (2x2) / (2x2x2x2x2) = 2^2-5 = 2^-3 = 1/2³

            O expoente -3 “não vai para baixo porque é fórmula”. O -3 indica que havia mais números embaixo, e permanecem lá.

            Isso vale sempre, assim podemos escrever a propriedade:

a^-m = 1/a^m

            f(x) = 2^x

            f(x) = 2² = 4

            f(x) = 2³ = 8

            f(x) = 2⁴ = 16

            f(x) = 2¹ = 2

            f(x) = 2⁰ = 1

            f(x) = 2^-1 = 1/2¹ = 1 / 2 = 0,5

            f(x) = 2^-2 = 1/2² = 1 / 4 = 0,25

            No link de porcentagem, tínhamos o seguinte enunciado, que é uma aplicação de potência:

Apliquei R$ 1.000,00 em caderneta de poupança durante 3 meses. Sabendo-se que as 3 taxas foram iguais a 10% ao mês, resolva usando potenciação na ML.

Generalizando, saldo final ou montante (M), M = 1000 x 1,1 x1,1 x1,1 = 1000 x 1,1³ = 1331, M =  C x (1 + i) ⁿ

Usando potenciação na ML 1.1 x = =(aparece no visor 1.331) x 1000 (aparece no visor 1331)

Portanto, o saldo é R$ 1.331,00.

2³ = 2 . 2 . 2 = 8

O número 2 é multiplicado 3 vezes

Em potenciação, o número 2 é chamado de base. O número 3 é chamado de expoente.

Generalizando em potenciação, a . a . a ......a = b = aⁿ, onde n é quantas vezes a base repete.

Uma aplicação dessa teoria é juros compostos.

Apliquei hoje, em 2020, R$ 1.000,00 durante 3 anos a juros compostos, com taxa de 100% ao ano. Quanto terei em 2023?

A tabela representa a previsão ano a ano da aplicação.

O saldo dobra a cada ano, pois é 100%

O aumento de 100% é 100/100 = 1, ou seja, o aumento é o próprio valor.

Em 2020 era 1000 e teve aumento de 1000 em 2021.

1000 + 1000 = 2 . 1000 = 2000 em 2021

Ou

1000 (100% + 100%) = 1000 (1 + 1) = 1000 . 2 = 2000 em 2021

Em 2021 o saldo era 2000 e teve aumento de 2000 em 2022

Ou

2000 (100% + 100%) = 2000 (1 + 1) = 2000 . 2 = 4000 em 2022

Como 2000 = 1000 x 2

2000 . 2 = 1000 . 2 . 2 = 1000 . 2² = 1000 . 4 = 4000 em 2022

Em 2022 o saldo era 4000 e teve aumento de 4000 em 2023

Ou

4000 (100% + 100%) = 4000 (1 + 1) = 4000 . 2 = 8000 em 2023

Como 4000 = 1000 . 2 . 2 = 1000 . 2²

4000 . 2 = 1000 . 2 . 2 . 2 = 1000 . 2³ = 1000 . 8 = 8000 em 2023

Saldo = 1000 . 2³ = 8000 em 2023

Em matemática financeira, o saldo é chamado de montante = M. O valor aplicado é chamado de capital = c. O número de anos é o período e é chamado de n. A taxa é chamada de i.

Em Matemática Financeira M = 1000 . 2³

M = C . (1 + i)ⁿ

Apliquei R$ 1.000,00 durante 3 anos a juros compostos, com taxa de 100% ao ano. Qual o montante aplicando a propriedade M = C x (1+i)ⁿ?

Capital = C = 1.000

100% = 100/100 = 1

Taxa de 100% em número decimal = 100/100 = 1 = i

Período de aplicação = n = 3

M = C x (1+i)³

M = 1.000 x (1 + 1)³

M = 1.000 x 2³

M = 1.000 x 8 = 8.000

Montante é R$ 8.000,00

O montante vem em função do período de aplicação, que é n, que é o EXPOENTE.

A função para capital C = 1000 e taxa de 100% é

M = C . 2ⁿ

O montante M vem em função do período de aplicação.

Temos o par ordenado (n , M).

A aplicação durante 3 anos resulta em montante de R$ 8.000,00.

Temos o par ordenado (3 , 8000).

Se utilizarmos a mesma linguagem de função, em vez de n chamaremos de x. Em vez de M chamaremos de f(x).

É A FUNÇÃO EXPONENCIAL

A função será f(x) = 2ⁿ

Assim, M = C . 2ⁿ ou f(x) = 2ⁿ

Apliquei R$ 1.000,00 durante 2 anos a juros compostos, com taxa de 100% ao ano. Qual o montante aplicando a função exponencial M = C x (1+i)ⁿ?

Capital = C = 1.000

Taxa de 100% em número decimal = 100/100 = 1 = i

Período de aplicação = n = 2

M = C x (1+i)²

M = 1.000 x (1 + 1)²

M = 1.000 x 2²

M = 1.000 x 4 = 4.000

Montante é R$ 4.000,00

Apliquei R$ 1.000,00 durante 4 anos a juros compostos, com taxa de 100% ao ano. Qual o montante aplicando a função exponencial M = C x (1+i)ⁿ

Capital = C = 1.000

Taxa de 100% em número decimal = 100/100 = 1 = i

Período de aplicação = n = 4

M = C x (1+i)⁴

M = 1.000 x (1 + 1)⁴

M = 1.000 x 2⁴

M = 1.000 x 16 = 16.000

Montante é R$ 16.000,00

Apliquei R$ 1.000,00 durante 5 anos a juros compostos, com taxa de 100% ao ano. Qual o montante aplicando a função exponencial M = C x (1+i)ⁿ

Capital = C = 1.000

Taxa de 100% em número decimal = 100/100 = 1 = i

Período de aplicação = n = 5

M = C x (1+i)⁵

M = 1.000 x (1 + 1)⁵

M = 1.000 x 2⁵

M = 1.000 x 32 = 32.000

Montante é R$ 32.000,00

1) Utilize a ML para calcular as potências.

2) Calcule as potências.

2² = 2 x 2 =

2³ = 2 x 2 x 2 =

2⁴ = 2 x 2 x 2 x 2 =

2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 =

2⁶ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 =

2⁷ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 =

2⁸ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 x 2 =

2⁹ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 x 2 x 2 =

2¹⁰ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 x 2 x 2 x 2 =

3) Escreva o resultado:

2² =

2³ =

2⁴ =

2⁵ =

2⁶ =

2⁷ =

2⁸ =

2⁹ =

2¹⁰ =

4) Dê o resultado: 4 x 8 =

5) Calcule

2² x 2³ = 2^{2 + 3} =

6) Escreva a propriedade

a^m x aⁿ =

7) a) 2² x 2³ = 2^{2 + 3} =

b) 2¹⁰ x 2⁶ = 2^{10 + 6} =

c) 3² x 3³ = 3^{2 + 3} =

d) 8² x 8⁴ = 8^{2 + 4} =

e) 1,1¹⁵ x 1,1²⁰ = 1,1^{15 + 20} =

f) 5^1/2 x 5^1/2 = 5^{1/2 + 1/2} =

g) 2³ x 2³ = 2^{3 + 3} =

8) Escreva a propriedade

a^m x aⁿ =

9) a)(2³) ² = 2^{3 x 2} =

b) (75³) ² = 75^{3 x 2} =

c) (11⁷⁰) ¹⁰ = 11^{70 x 10} =

10) Escreva a propriedade

a^m / aⁿ =

11) Resolva

a) 2⁵ / 2² =

b) 100⁵ / 100² =

c) 55⁹ / 55³ =

d) 7⁵ / 7 =

e) 2,718³⁰ / 2,718¹⁰ =

12) Escreva a propriedade

a⁰ =

13) Escreva a propriedade

a^-m =

14) Determine

            f(x) = 2² =

            f(x) = 2³ =

            f(x) = 2⁴ =

            f(x) = 2¹ =

            f(x) = 2⁰ =

            f(x) = 2^-1 =

            f(x) = 2^-2 =

15) Apliquei R$ 1.000,00 em caderneta de poupança durante 3 meses. Sabendo-se que as 3 taxas foram iguais a 10% ao mês, resolva usando potenciação na ML.

1)

2)

2² = 2 x 2 = 4

2³ = 2 x 2 x 2 = 8

2⁴ = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

2⁶ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

2⁷ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 = 128

2⁸ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 x 2 = 256

2⁹ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 x 2 x 2 = 512

2¹⁰ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024

3)

2² = 4

2³ = 8

2⁴ = 16

2⁵ = 32

2⁶ = 64

2⁷ = 128

2⁸ = 216

2⁹ = 512

2¹⁰ = 1024

4) Dê o resultado: 4 x 8 = 32

5) 2² x 2³ = 2^{2 + 3} = 2⁵ = 32

6) a^m x aⁿ = a^{m + n}

7) a) 2² x 2³ = 2^{2 + 3} = 2⁵

b) 2¹⁰ x 2⁶ = 2^{10 + 6} = 2¹⁶

c) 3² x 3³ = 3^{2 + 3} = 3⁵

d) 8² x 8⁴ = 8^{2 + 4} = 8⁶

e) 1,1¹⁵ x 1,1²⁰ = 1,1^{15 + 20} = 1,1³⁵

f) 5^1/2 x 5^1/2 = 5^{1/2 + 1/2} = 5¹

g) 2³ x 2³ = 2^{3 + 3} = 2⁶

8) (a^m) ⁿ = a^{m x n}

9) a)(2³) ² = 2^{3 x 2} = 2⁶

b) (75³) ² = 75^{3 x 2} = 75⁶

c) (11⁷⁰) ¹⁰ = 11^{70 x 10} = 11⁷⁰⁰

10) a^m / aⁿ = a^{m - n}

11) a) 2⁵ / 2² = 2^{5 – 2} = 2³

b) 100⁵ / 100² = 100^{5 – 2} = 100³

c) 55⁹ / 55³ = 55^{9 – 3} = 55⁶

d) 7⁵ / 7 = 7^{5 – 1} = 7⁴

e) 2,718³⁰ / 2,718¹⁰ = 2,718^{30 – 10} = 2,718²⁰

12) a⁰ = 1

13) a^-m = 1/a^m

14)      f(x) = 2² = 4

            f(x) = 2³ = 8

            f(x) = 2⁴ = 16

            f(x) = 2¹ = 2

            f(x) = 2⁰ = 1

            f(x) = 2^-1 = 1/2¹ = 1 / 2 = 0,5

            f(x) = 2^-2 = 1/2² = 1 / 4 = 0,25

15) Generalizando, saldo final ou montante (M), M = 1000 x 1,1 x1,1 x1,1 = 1000 x 1,1³ = 1331,

M =  C x (1 + i) ⁿ

Usando potenciação na ML 1.1 x = =(aparece no visor 1.331) x 1000 (aparece no visor 1331).

                  Portanto, o saldo é R$ 1.331,00.