Integral, operação inversa da derivada
Prof. Roberto Losada Pratti
OPERAÇÃO INVERSA
A operação inversa da multiplicação é divisão. A operação inversa de adição é subtração. A operação inversa de derivada é integral. A operação inversa da integral é a derivada
A simbologia utilizada, que está abaixo, geralmente traumatiza as pessoas normais. Se você se assustar, parabéns, você é uma pessoa normal.
NOTAÇÃO
∫f(x) dx = F(x)
F’(x) = f(x)
A INTEGRAL de uma função contínua e não negativa, no intervalo [a,b], equivale à área limitada pelo gráfico de f(x) e o eixo das abscissas (eixo dos x).
Simbologia: ∫f(x) dx
∫ é o sinal de integral
f(x) é chamada de integrando ou função integranda
dx é uma notação usada em derivada e não tem influência nos cálculos, por isso, não é número, não é função e nem está multiplicando. O símbolo dx pode ser considerado (por herege ou pessoas normais) como enfeite.
F’(x) = f(x), isto é, derivada de F é f
∫f(x) dx = F(x), isto é, integral de f(x) = F(x)
F também é chamada de primitiva de f
OBSERVAÇÃO: Abaixo, para facilitar o entendimento, na primitiva F(x) não é citada a constante.
Exemplos:
1) Sejam f(x) = 2x e F(x) = x2
a) derivada de F = F’(x) = (x2)’ = 2x = f(x)
b) ∫ f(x) dx = ∫ 2x dx = x2 = F(x)
2) Sejam f(x) = x e F(x) = x2/2
a) F’(x) = (x2/2)’ = x = f(x)
b) ∫ f(x) dx = ∫ x dx = x2/2 = F(x)
3) Sejam f(x) = 10x e F(x) = 5x2
a) F’(x) = (5x2)’ = 10x = f(x)
b) ∫ f(x) dx = ∫ 10x dx = 5x2 = F(x)
4) Sejam f(x) = 3 x2 e F(x) = x3
a) F’(x) = (x3)’ = 3 x2 = f(x)
b) ∫ f(x) dx = ∫ 3 x2 dx = x3 = F(x)
5) Sejam f(x) = x2 e F(x) = x3/3
a) F’(x) = (x3/3)’ = x2 = f(x)
b) ∫ f(x) dx = ∫ x2 dx = x3/3 = F(x)
6) Sejam f(x) = 12 x2 e F(x) =4 x3
a) F’(x) = (4x3)’ = 12 x2 = f(x)
b) ∫ f(x) dx = ∫ 12 x2 dx =4 x3 = F(x)
7) Sejam f(x) = 1 e F(x) =1x
a) F’(x) = (1x)’ = 1 = f(x)
b) ∫ f(x) dx = ∫ 1 dx =1x = F(x)
8) Sejam f(x) = 2x + 7 e F(x) = x2 + 7x
a) F’(x) = (x2 + 7x)’ = 2x + 7 = f(x)
b) ∫ f(x) dx = ∫ 2x + 7 dx = x2 + 7x = F(x)
9) Sejam f(x) = 2x - 7 e F(x) = x2 - 7x
a) F’(x) = (x2 - 7x)’ = 2x - 7 = f(x)
b) ∫ f(x) dx = ∫ 2x - 7 dx = x2 - 7x = F(x)
10) Sejam f(x) = x2 - 4 e F(x) = x3/3 – 4x
a) F’(x) = (x3/3 – 4x)’ = x2 - 4 = f(x)
b) ∫ f(x) dx = ∫ x2 – 4 dx = x3/3 – 4x = F(x)
INTEGRAL DEFINIDA
Exemplos:
Encontre a área:
11) Seja f(x) = x
Em Geometria, a área do triângulo é A = base . altura/2
A = 4 . 4 /2
A = 16 /2
A = 8
Em Integral, veja o exemplo 2 acima.
∫ f(x) dx = ∫ x dx = x2/2
A integral entre 0 e 4 = ∫ x dx = x2/2 = 42/2 = 16/2 = 8, portanto, área = 8
12) Seja f(x) = x2. Encontre a área para x entre 1 e 3
Veja o exemplo 5 acima.
F’(x) = (x3/3)’ = x2, portanto, área = ∫ f(x) dx = ∫ x2 dx = x3/3.
A área é a partir do 1, não é a partir do zero. Calcula-se o valor para x = 3 e subtrai-se o valor para x = 1
área para x = 3 = ∫ f(x) dx = ∫ x2 dx = 33/3 = 27/3 = 9
área para x = 1 = ∫ f(x) dx = ∫ x2 dx = 13/3 = 1/3
área entre 1 e 3 = 9 – 1/3 = 26/3
13) Seja f(x) = x2-4. Encontre a área para x entre -2 e 2
Veja o exemplo 10 acima.
F’(x) = (x3/3 – 4x)’ = x2 – 4, portanto = área = ∫ f(x) dx = ∫ x2 – 4 dx = x3/3 – 4x.
A área está na parte debaixo.
Essa é área de parábola, que é simétrica, como vocês viram em Matemática. Pode ser calculada área entre 0 e 2 e dobra-se, ou seja, multiplica-se por 2.
Observe a figura.
Veja o exemplo 10 acima.
F’(x) = (x3/3 – 4x)’ = x2 – 4, portanto área = ∫ f(x) dx = ∫ x2 – 4 dx = x3/3 – 4x
Para x = 2, ∫ x2 – 4 dx = x3/3 – 4x = 23/3 – 4.2 = 8/3 – 8 = - 16/3.
Como a área é positiva e do lado do -2 a 0 é igual, é só multiplicar por 2.
2. 16/3 = 32/3
Portanto, área = 32/3
EXERCÍCIOS
Sabendo-se que ∫f(x) dx = F(x) e que F’(x) = f(x), calcule f(x).
1) ∫ f(x) dx = x2
f(x) = (x2)’ =
2) ∫ f(x) dx = x2/2
f(x) = (x2/2)’ =
3) ∫ f(x) dx = 5x2
f(x) = (5x2)’ =
4) ∫ f(x) dx = x3
f(x) = (x3)’ =
5) ∫ f(x) dx = x3/3
f(x) = (x3/3)’ =
6) ∫ f(x) dx = 4 x3
f(x) = (4x3)’ =
7) ∫ f(x) dx = 1x
f(x) = (1x)’ =
8) ∫ f(x) dx = x2 + 7x
f(x) = (x2 + 7x)’ =
9) ∫ f(x) dx = x2 - 7x
f(x) = (x2 - 7x)’ =
10) ∫ f(x) dx = x3/3 – 4x
f(x) = (x3/3 – 4x)’ =
RESPOSTAS
1) ∫ f(x) dx = x2
f(x) = (x2)’ = 2x
2) ∫ f(x) dx = x2/2
f(x) = (x2/2)’ = x
3) ∫ f(x) dx = 5x2
f(x) = (5x2)’ =10x
4) ∫ f(x) dx = x3
f(x) = (x3)’ = 3 x2
5) ∫ f(x) dx = x3/3
f(x) = (x3/3)’ = x2
6) ∫ f(x) dx = 4 x3
f(x) = (4x3)’ = 12 x2
7) ∫ f(x) dx = 1x
f(x) = (1x)’ = 1
8) ∫ f(x) dx = x2 + 7x
f(x) = (x2 + 7x)’ = 2x + 7
9) ∫ f(x) dx = x2 - 7x
f(x) = (x2 - 7x)’ = 2x - 7
10) ∫ f(x) dx = x3/3 – 4x
f(x) = (x3/3 – 4x)’ = x2 - 4