Função do 2º grau - origem
1 . 1 = 1 (utilizaremos o ponto (.) como símbolo de multiplicação.
ou 1 . 1 = 12
2 . 2 = 4 ou 2 . 2 = 22
3 . 3 = 9
4 . 4 = 16
5 . 5 = 25
6 . 6 = 36
1,1 . 1,1 = 1,21
- 1 . – 1 = 1
-2 . – 2 = 4
- 3 . - 3 = 9
- 4 . - 4 = 16
- 5 . - 5 = 25
- 6 . -6 = 36
-1,1 . - 1,1 = 1,21
0 . 0 = 0
10 . 10 = 100
1000000 . 1000000 = 1000000000000 ou 1000000 . 1000000 = 10000002
x . x = x2
TRADUZINDO PARA PORTUGUÊS
Em português, podemos dizer: o resultado vem em função da multiplicação de um número por ele mesmo. Convenciona-se colocar um 2 em cima do número para dizer que é um número multiplicado por ele mesmo.
ALGEBRICAMENTE
Generalizando, seja x um número qualquer, temos:
x . x = x2
FUNÇÃO DO 2º GRAU
O resultado que vem em função do x pode ser escrito de várias maneiras:
y = x . x = x2
ou y = x2
ou f(x) = x2
CÁLCULO DE f(x)
f(1) = 1 . 1 = 1
f(2) = 2 . 2 = 4
f(3 ) = 3 . 3 = 9
f(4 ) = 4 . 4 = 16
f(5 ) = 5 . 5 = 25
f(6 ) = 6 . 6 = 36
f(1,1) = 1,1 . 1,1 = 1,21
f(-1) = - 1 . - 1 = 1
f(- 2) = -2 . - 2 = 4
f(- 3) = - 3 . - 3 = 9
f(- 4) = - 4 . - 4 = 16
f(-5) = - 5 . - 5 = 25
f(- 6) = - 6 . -6 = 36
f(- 1,1) = -1,1 . - 1,1 = 1,21
f(-10) = -10 . -10 = 100
f(- 1000000) = -1000000 . -1000000 = 1000000000000
TABELA
Na função acima, f(x) = x2, os resultados podem ser representados em uma tabela
|
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
0 |
1,1 |
10 |
|
f(x) |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
0 |
1,21 |
100 |
|
x |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
-6 |
-1,1 |
-10 |
|
f(x) |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
1,21 |
100 |
GRÁFICO: PARÁBOLA
Se o domínio da função (conjunto dos valores de x) for o conjunto dos números reais e a imagem (conjunto dos valores de y) também for o conjunto dos números reais, o gráfico da função f(x) = x2 será uma parábola que “toca” o eixo das abscissas (x) no ponto (0,0), origem do sistema cartesiano. A parábola é dividida ao meio, é igual dos 2 lados, e, neste caso, o eixo de simetria é o eixo das ordenadas (eixo dos y). Os pontos são simétricos, por exemplo, f(1) = f(-1) = 1. Para todos os pontos é assim, por exemplo, f(2) = f(-2) = 4.
Construa o gráfico com alguns pontos acima. Note que “falta folha” para x = 10.
RAIZ
A parábola “encontra” o eixo das abscissas (x) quando f(x) = 0.
f(x) = x2 = 0.
x = √0 = 0
A raiz é x = 0
PONTO DE INFLEXÃO
A parábola “entorta” e “volta em (0,0). É o ponto de inflexão, onde passa o eixo de simetria. O zero é o menor valor de y, é o ponto de mínimo.
Este exemplo é particular e o eixo de simetria, que divide a parábola em duas, coincidiu com o eixo y.
A raiz é zero e o ponto de inflexão coincidiu, neste exemplo, com a raiz.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU
f(x) = x2 não tem outros termos, é incompleta. Quando temos o valor de f(x) e queremos encontrar x, neste caso, que é uma equação incompleta, basta extrair a raiz.
f(x) = x2 = 4
x2 = 4
x = √4
x = 2, porque 2 . 2 = 4
ou
x = -2, porque -2 . - 2 = 4
Então as raízes são x1 = 2 e x2 = -2
RESUMO DAS PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DO 2º GRAU
A forma geral da função do 2º grau é
f(x) = a. x2 + b.x + c
onde a, b e c são números reais determinados e x é um número real qualquer.
CONCAVIDADE
O número “na frente” do x2 determina a concavidade da parábola.
a > 0, concavidade para cima.
a < 0, concavidade para baixo.
b2 - 4.a.c é geralmente representado pela letra grega D (delta).
D = b2 - 4.a.c
D = 0, a parábola toca o eixo das abscissas em um único ponto, como na função f(x) = x2
D > 0, a parábola toca o eixo das abscissas em 2 pontos, tem 2 raízes.
D < 0, a parábola não toca o eixo das abscissas e não tem raiz.
RAIZ – CORTA EIXO DAS ABSCISSAS, EIXO X
A parábola “corta” o eixo das abscissas. É a raiz, é o ponto (x,0), ou seja, f(x) = a.x2 + b.x + c = 0
Uma equação do 2º grau pode ter 2 raízes (quando D > 0), somente uma raiz (quando D = 0) ou nenhuma (quando D < 0). D= b2 - 4.a.c
Quando a equação for incompleta, ou seja, não tem b.x ou não tem c, pode ser resolvida de maneira simples. Por exemplo, na função f(x) = x2
FÓRMULA DE BÁSCARA
Para resolver equação genérica do 2º grau, utiliza-se a fórmula
D = b2 – 4ac
Podem ser 2 raízes, ou seja, a parábola corta o eixo das abscissas (eixo dos x) em x1 e x2
Exemplo: Encontre as 2 raízes, ou seja, os 2 valores onde a parábola corta o eixo x, na equação x2 – 4x + 3 = 0
a = 1, b = - 4, c = 3
Pela fórmula de Báscara, para facilitar, primeiro encontramos D para extrair a raiz quadrada.
D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4.1.3 = 16 – 12 = 4
√4 = 2
A parábola da função f(x) = x2 – 4x + 3 corta o eixo das abscissas em x = 1 e x = 3
CORTA EIXO DAS ORDENADAS – EIXO Y
A reta “corta” o eixo y quando x = 0
f(0) = a.x2 + b.x + c = a.02 + b.0 + c = c
Portanto, a parábola corta y em c, no ponto (0,c).
FUNÇÃO MÁXIMO E MÍNIMO DA FUNÇÃO
Se a concavidade for para cima (a > 0), a função decresce até o vértice e, a partir daí, cresce. Esse ponto onde a parábola “volta” é o menor valor de y, é o ponto de mínimo.
Se a concavidade for para baixo (a < 0), a função cresce até o vértice e, a partir daí, decresce. Esse ponto onde a parábola “volta” é o maior valor de y, é o ponto de máximo.
VÉRTICE
VÉRTICE é o ponto onde a parábola “entorta” e “volta”.
O x do vértice pode ser encontrado pela propriedade – b/2.a
Em Matemática Aplicada, o x do vértice pode ser encontrado pela derivada.
O y do vértice pode ser determinado pela propriedade - D/ 4.a
FOCO DO ESTUDO EM MATEMÁTICA
Quando terminarmos o estudo de função do 2º grau, resolveremos o problema da página 84 do livro da bibliografia, Matemática aplicada à economia e administração, de Louis Leithold. Resumiremos o enunciado: Seja L(x) o lucro de um fabricante de relógios em função do preço de cada relógio, em que L(x) = - x2 + 140.x – 1875. Encontre o preço para que o lucro seja máximo e determine qual será o lucro.
A resolução em Matemática será feita pelo ponto de máximo. O mesmo problema será resolvido em Matemática Aplicada aplicando derivada igual a zero.
CRIAÇÃO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU A PARTIR DAS RAÍZES
a.x2 + b.x + c = 0
x2 + b.x + c = 0
Criaremos funções do 2º grau com a = 1 pela propriedade:
x2 - S.x + P = 0
onde S é a soma das raízes e P é o produto das raízes.
Exemplo: x1 = 1 e x2 = 3
S = 1 + 3 = 4
P = 1 . 3 = 3
x2 - 4.x + 3 = 0
Observação: se encontrarmos as raízes de x2 - 4.x + 3 = 0 pela fórmula de Báscara, as raízes serão x1 = 1 e x2 = 3
Exemplos:
Dadas as raízes, complete a tabela e crie funções do 2º grau.
|
x1 |
x2 |
S |
P |
x2 - S.x + P = 0 |
|
1 |
3 |
4 |
3 |
x2 - 4.x + 3 = 0 |
|
2 |
8 |
10 |
16 |
x2 - 10.x + 16 = 0 |
|
-1 |
5 |
4 |
-5 |
x2 - 4.x - 5 = 0 |
|
-9 |
2 |
-7 |
-18 |
x2 +7.x - 18 = 0 |
|
-1 |
-3 |
-4 |
3 |
x2 + 4.x + 3 = 0 |
|
1 |
-3 |
-2 |
-3 |
x2 + 2.x - 3 = 0 |
|
-1 |
3 |
2 |
-3 |
x2 - 2.x - 3 = 0 |
|
3 |
3 |
6 |
9 |
x2 - 6.x + 9 = 0 |
|
-3 |
-3 |
-6 |
9 |
x2 + 6.x + 9 = 0 |
|
0 |
5 |
5 |
0 |
x2 - 5.x = 0 |
|
0 |
-5 |
-5 |
0 |
x2 + 5.x = 0 |
|
-2 |
2 |
0 |
-4 |
x2 - 4 = 0 |
|
-3 |
3 |
0 |
-9 |
x2 - 9 = 0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
x2 = 0 |
CRIAÇÃO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU COM a DIFERENTE DE 1
a.x2 + b.x + c = 0
Criaremos funções do 2º grau com a = 1 pela propriedade:
x2 - S.x + P = 0
onde S é a soma das raízes e P é o produto das raízes.
Multiplicaremos essa equação pelo coeficiente a, obtendo
ax2 – a.S.x + a.P = 0
Exemplo: x1 = 1, x2 = 3 e a = 2
S = 1 + 3 = 4
P = 1 . 3 = 3
x2 - 4.x + 3 = 0
2. x2 – 2.4.x + 2.3 = 0.2
2. x2 – 8.x + 6 = 0
Observação: se encontrarmos as raízes de 2. x2 – 8.x + 6 = 0 pela fórmula de Báscara, as raízes serão x1 = 1 e x2 = 3
Exemplos:
Dadas as raízes, complete a tabela e crie funções do 2º grau com a = 2.
|
x1 |
x2 |
S |
P |
2x2 – 2.S.x + 2.P = 0 |
|
1 |
3 |
4 |
3 |
2.x2 - 8.x + 6 = 0 |
|
2 |
8 |
10 |
16 |
2.x2 - 20.x + 32 = 0 |
|
-1 |
5 |
4 |
-5 |
2.x2 - 8.x - 10 = 0 |
|
-9 |
2 |
-7 |
-18 |
2.x2 +14.x - 36 = 0 |
|
-1 |
-3 |
-4 |
3 |
2.x2 + 8.x + 6 = 0 |
|
1 |
-3 |
-2 |
-3 |
2.x2 + 4.x - 6 = 0 |
|
-1 |
3 |
2 |
-3 |
2.x2 - 4.x - 6 = 0 |
|
3 |
3 |
6 |
9 |
2.x2 - 12.x + 18 = 0 |
|
-3 |
-3 |
-6 |
9 |
2.x2 + 12.x + 18 = 0 |
|
0 |
5 |
5 |
0 |
2.x2 - 10.x = 0 |
|
0 |
-5 |
-5 |
0 |
2.x2 + 10.x = 0 |
|
-2 |
2 |
0 |
-4 |
2.x2 - 8 = 0 |
|
-3 |
3 |
0 |
-9 |
2.x2 - 18 = 0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
2.x2 = 0 |
Exemplo: Crie uma função do 2º grau em que x1 = 1, x2 = 3 e a = - 1
S = 1 + 3 = 4
P = 1 . 3 = 3
x2 - 4.x + 3 = 0 agora é só multiplicar os 2 membros por - 1
-1 . x2 – (-1 . 4.x) + (-1. 3) = 0 . -1
- x2 + 4.x - 3 = 0
Obeservação: essa equação tem raízes 1 e 3, porém, se pensarmos na função f(x) = - x2 + 4.x - 3, a concavidade será para baixo, portanto, será diferente da função f(x) = x2 - 4.x + 3 que também tem raízes 1 e 3
CORTA X, CORTA Y, VÉRTICE E GRÁFICO
f(x) = x2 - 4.x + 3
Cálculos de f(x)
Calcule f(x) = x2 - 4.x + 3 para x = -1, x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5
f(-1) = (-1)2 - 4. (-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8
f(0) = 02 - 4.0 + 3 = 0 – 0 + 3 = 3
f(1) = 12 - 4.1 + 3 = 1 – 4 + 3 = 0
f(2) = 22 - 4.2 + 3 = 4 – 8 + 3 = - 1
f(3) = 32 - 4.3 + 3 = 9 – 12 + 3 = 0
f(4) = 42 - 4.4+ 3 = 16 – 16 + 3 = 3
f(5) = 52 - 4.5 + 3 = 25 – 20 + 3 = 8
Pontos de f(x)
Escreva os pontos de f(x) = x2 - 4.x + 3 para x = -1, x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5
{(-1, 8), (0, 3), (1, 0), (2, - 1), (3, 0), (4, 3), (5, 8)}
Tabela
Faça a tabela de f(x) = x2 - 4.x + 3 para x = -1, x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5
|
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
f(x) = y |
8 |
3 |
0 |
-1 |
0 |
3 |
8 |
Concavidade
Como é a concavidade da parábola de f(x) = x2 - 4.x + 3?
O número na frente de x2 é - 1 > 0, portanto a concavidade é para cima.
Corta eixo das ordenadas, corta y
Onde a parábola corta o eixo das ordenadas (eixo dos y?) em f(x) = x2 - 4.x + 3?
Se corta o eixo dos y, então x = 0.
Observando f(0) ou a tabela ou os pontos, corta em y = 3.
Basta calcular f(0) = 02 - 4.0 + 3 = 0 – 0 + 3 = 3
Portanto, corta em y = 3, ou no ponto (0,3)
Raiz, corta eixo das abscissas, corta eixo x
Qual a raiz, ou seja, onde a parábola corta o eixo das abscissas (eixo dos x?) em f(x) = x2 - 4.x + 3?
Se corta o eixo dos x, então y = 0.
Essa função foi construída a partir das raízes x1 = 1 e x2 = 3.
Também, observando f(x) = 0 ou a tabela ou os pontos, corta em x1 = 1 e x2 = 3.
“Adivinhando” as raízes
Às vezes, quando a = 1, é possível descobrir as raízes utilizando a propriedade da soma e produto, x2 - S.x + P = 0
Como f(x) = x2 - 4.x + 3, tentamos descobrir 2 números que multiplicados resultem 3. Sabemos que 3 . 1 = 3 e -3 . -1 = 3
Temos -4.x = - S, portanto a soma precisa ser o oposto de -4, isto é, S = 4.
-1 – 3 = -4, não serve,
1 + 3 = 4, serve, então as raízes são 1 e 3, pois P = 1.3 = 3 e –S (menos a soma) = -(1 + 3 ) = -4
Raiz por Báscara
Para encontrar as raízes, ou seja, para f(x) = 0, também pode se resolver por Báscara.
a.x2 + b.x + c = 0
x2 - 4.x + 3 = 0
a = 1, b = - 4, c = 3
D = b2 - 4.a.c
D = - 42 - 4.1.3 = 16 – 12 = 4
x1 = -b - √D / 2.a
x1 = -(-4) - √4 / 2.1
x1 = 4 - 2 / 2
x1 = 2 / 2
x1 = 1
x2 = -b + √D / 2.a
x2 = -(-4) + √4 / 2.1
x2 = 4 + 2 / 2
x2 = 6 / 2
x2 = 3
Portanto, x1 = 1 e x2 = 3.
Assim, a parábola corta x em x1 = 1 e x2 = 3, ou nos pontos (1,0) e (3,0)
Vértice da parábola (xv, yv)
xv = (x1 + x2 )/2
ponto de máximo ou de mínimo
Na função f(x) = x2 - 4.x + 3, os valores de y vão diminuindo quando x cresce, até x = 2, f(2) = y = -1, isto é, a função é decrescente até o ponto (2,-1), ponto de mínimo.
y = - 1 é o menor valor de y, ou seja, é o mínimo da função.
A partir de x = 2, y cresce, então a função passa a ser crescente.
(2, -1) é o ponto de inflexão, onde a parábola “entorta” e “volta”.
(2, -1) é o ponto onde passa o eixo de simetria.
xv está entre as raízes, na metade, é a média aritmética das raízes, então:
xv = (x1 + x2 )/2
Como as raízes são x1 = 1 e x2 = 3
xv = (1 + 3 )/2
xv = 4/2
xv = 2
Para obter yv basta substituir xv = 2, ou seja encontrar f(2)
yv = f(2) = 22 - 4.2 + 3 = -1
Portanto, (xv, yv) = (2, -1)
Também existem propriedades para encontrar o vértice da parábola:
xv = – b/2.a
yv = – D/ 4.a
Calculemos o ponto do vértice de f(x) = x2 - 4.x + 3 pelas propriedades acima.
xv = – b/2.a = - (-4) / 2.1 = 4/2 = 2
yv = – D/ 4.a = – (b2 - 4.a.c)/4.a = – ((-4)2 - 4.1.3)/4.a = - (16 – 12)/ 4.1 = -4 / 4 = - 1
Gráfico
Construa o gráfico de f(x) = x2 - 4.x + 3
Com base no estudo acima, é possível fazer um esboço (síntese, rascunho) do gráfico, levando em conta:
a) concavidade para cima, pois a = 1 > 0 (número na frente de x2)
b) corta y em 3, número que fica sozinho em f(x) = x2 - 4.x + 3, ou f(0) = 3, ou seja, ponto (0,3)
c) raízes x1 = 1 e x2 = 3, descobrindo pela propriedade x2 - S.x + P = 0 ou resolvendo por Báscara.
d) Vértice (xv, yv) = (2, -1), xv = 2, pois xv = (x1 + x2 )/2 e yv = f(2) = 22 - 4.2 + 3 = -1 ou pelas propriedades xv = – b/2.a e yv = – D/ 4.a
RESOLUÇÃO DO FOCO DO ESTUDO EM MATEMÁTICA
Agora que já estudamos alguns aspectos de função do 2º grau, resolveremos um problema tradicional encontrado em livro, da página 84 do livro da bibliografia, Matemática aplicada à economia e administração, de Louis Leithold.
Resumiremos o enunciado: Seja L(x) o lucro de um fabricante de relógios em função do preço de cada relógio, em que L(x) = - x2 + 140.x – 1875.
a) Encontre o preço para que o lucro seja máximo
Podemos resolver o preço obtendo o x do vértice pelas raízes ou pela propriedade.
Resolvendo pela propriedade xv = – b/2.a e yv = – D/ 4.a
xv = – 140/2.-1
xv = 70
Portanto o preço é R$ 70,00
Resolvendo pelas raízes:
a.x2 + b.x + c = 0
- x2 + 140.x – 1875 = 0
a = -1, b = 140, c = – 1875
D = b2 - 4.a.c
D = 1402 - 4.-1. – 1875 = 19600 – 7500 = 12100
x1 = -b - √D / 2.a
x1 = -140 - √12100 / 2.-1
x1 = -140 - 110 / -2
x1 = -250 / -2
x1 = 125
x2 = -b + √D / 2.a
x2 = -140 + √12100 / 2.-1
x2 = -140 + 110 / -2
x2 = -30 / -2
x2 = 15
xv = (x1 + x2 )/2
xv = (125 + 15 )/2
xv = 140 / 2
xv = 70
Portanto, o preço é R$ 70,00
b) Determine o lucro máximo.
Podemos resolver substituindo o preço:
L(x) = - x2 + 140.x – 1875
L(70) = - 702 + 140.70 – 1875
L(70) = - 4900 + 9800 – 1875
L(70) = 3025
Portanto, o lucro máximo será R$ 3.025,00
Podemos resolver pela propriedade
yv = – D/ 4.a
D = 1402 - 4.-1. – 1875 = 19600 – 7500 = 12100
yv = – 12100/ 4.-1 = 3025
Portanto o lucro máximo será R$ 3.025,00
EXERCÍCIOS
1) Seja f(x) = x2. Calcule:
a) f(1) =
b) f(2) =
c) f(3 ) =
d) f(4 ) =
e) f(5 ) =
f) f(6 ) =
g) f(1,1) =
h) f(-1) =
i) f(- 2) =
j) f(- 3) =
k) f(- 4) =
l) f(-5) =
m) f(- 6) =
n) f(- 1,1) =
o) f(-10) =
p) f(- 1000000) =
2) Seja f(x) = x2. Complete a tabela.
|
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
0 |
1,1 |
10 |
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
-6 |
-1,1 |
-10 |
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Construa o gráfico de f(x) = x2.
4) x2 = 0.
5) x2 = 4
6) Qual a raiz de f(x) = x2?
7) Qual o vértice de f(x) = x2?
8) Qual a propriedade de soma e produto de raízes que podemos usar para criar equações do 2º grau dadas as raízes?
9) Crie uma função do 2º grau com as raízes x1 = 1 e x2 = 3
10) Dadas as raízes, complete a tabela e crie funções do 2º grau.
|
x1 |
x2 |
S |
P |
x2 - S.x + P = 0 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
2 |
8 |
|
|
|
|
-1 |
5 |
|
|
|
|
-9 |
2 |
|
|
|
|
-1 |
-3 |
|
|
|
|
1 |
-3 |
|
|
|
|
-1 |
3 |
|
|
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|
3 |
3 |
|
|
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-3 |
-3 |
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0 |
5 |
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0 |
-5 |
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-2 |
2 |
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-3 |
3 |
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0 |
0 |
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11) Dadas as raízes, complete a tabela e crie funções do 2º grau com a = 2.
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x1 |
x2 |
S |
P |
2x2 – 2.S.x + 2.P = 0 |
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1 |
3 |
|
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|
2 |
8 |
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-1 |
5 |
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-9 |
2 |
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-1 |
-3 |
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1 |
-3 |
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-1 |
3 |
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3 |
3 |
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-3 |
-3 |
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0 |
5 |
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0 |
-5 |
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-2 |
2 |
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-3 |
3 |
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0 |
0 |
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12) Crie uma função do 2º grau em que x1 = 1, x2 = 3 e a = - 1
13) Calcule f(x) = x2 - 4.x + 3 para x = -1, x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5,
f(-1) =
f(0) =
f(1) =
f(2) =
f(3) =
f(4) =
f(5) =
14) Escreva os pontos de f(x) = x2 - 4.x + 3 para x = -1, x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5
15) Faça a tabela de f(x) = x2 - 4.x + 3 para x = -1, x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5
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x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
f(x) = y |
|
|
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|
|
|
|
16) Como é a concavidade da parábola de f(x) = x2 - 4.x + 3?
17) Onde a parábola corta o eixo das ordenadas (eixo dos y) em f(x) = x2 - 4.x + 3?
18) Encontre a raiz, ou seja, onde a parábola corta o eixo das abscissas (eixo dos x?) em f(x) = x2 - 4.x + 3:
a) Tentando descobrir pela propriedade x2 - S.x + P = 0
b) Resolvendo por Báscara
19) Sabendo-se que as raízes de uma função do 2º grau são x1 = 1, x2 = 3, encontre xv utilizando a média aritmética das raízes, ou seja, xv = (x1 + x2 )/2
20) Calcule o ponto do vértice de f(x) = x2 - 4.x + 3 pelas propriedades xv = – b/2.a e yv = – D/ 4.a
21) Construa o gráfico de f(x) = x2 - 4.x + 3
22) Seja L(x) o lucro de um fabricante de relógios em função do preço de cada relógio, em que L(x) = - x2 + 140.x – 1875.
a) Encontre o preço para que o lucro seja máximo.
b) Determine o lucro máximo.
RESPOSTAS
1)
a) f(1) = 1 . 1 = 1
b) f(2) = 2 . 2 = 4
c) f(3 ) = 3 . 3 = 9
d) f(4 ) = 4 . 4 = 16
e) f(5 ) = 5 . 5 = 25
f) f(6 ) = 6 . 6 = 36
g) f(1,1) = 1,1 . 1,1 = 1,21
h) f(-1) = - 1 . – 1 = 1
i) f(- 2) = -2 . - 2 = 4
j) f(- 3) = - 3 . - 3 = 9
k) f(- 4) = - 4 . - 4 = 16
l) f(-5) = - 5 . - 5 = 25
m) f(- 6) = - 6 . -6 = 36
n) f(- 1,1) = -1,1 . - 1,1 = 1,21
o) f(-10) = -10 . -10 = 100
p) f(- 1000000) = -1000000 . -1000000 = 1000000000000
2)
|
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
0 |
1,1 |
10 |
|
f(x) |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
0 |
1,21 |
100 |
|
x |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
-6 |
-1,1 |
-10 |
|
f(x) |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
1,21 |
100 |
3)
4) x2 = 0.
x = √0 = 0
x = 0
5) x2 = 4
x = √4
x = 2 ou x = -2
6) x = 0
7) (0,0)
8) x2 - S.x + P = 0, onde S é a soma das raízes e P é o produto das raízes.
9) S = 1 + 3 = 4 P = 1 . 3 = 3 x2 - 4.x + 3 = 0
10)
|
x1 |
x2 |
S |
P |
x2 - S.x + P = 0 |
|
1 |
3 |
4 |
3 |
x2 - 4.x + 3 = 0 |
|
2 |
8 |
10 |
16 |
x2 - 10.x + 16 = 0 |
|
-1 |
5 |
4 |
-5 |
x2 - 4.x - 5 = 0 |
|
-9 |
2 |
-7 |
-18 |
x2 +7.x - 18 = 0 |
|
-1 |
-3 |
-4 |
3 |
x2 + 4.x + 3 = 0 |
|
1 |
-3 |
-2 |
-3 |
x2 + 2.x - 3 = 0 |
|
-1 |
3 |
2 |
-3 |
x2 - 2.x - 3 = 0 |
|
3 |
3 |
6 |
9 |
x2 - 6.x + 9 = 0 |
|
-3 |
-3 |
-6 |
9 |
x2 + 6.x + 9 = 0 |
|
0 |
5 |
5 |
0 |
x2 - 5.x = 0 |
|
0 |
-5 |
-5 |
0 |
x2 + 5.x = 0 |
|
-2 |
2 |
0 |
-4 |
x2 - 4 = 0 |
|
-3 |
3 |
0 |
-9 |
x2 - 9 = 0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
x2 = 0 |
11)
|
x1 |
x2 |
S |
P |
2x2 – 2.S.x + 2.P = 0 |
|
1 |
3 |
4 |
3 |
2.x2 - 8.x + 6 = 0 |
|
2 |
8 |
10 |
16 |
2.x2 - 20.x + 32 = 0 |
|
-1 |
5 |
4 |
-5 |
2.x2 - 8.x - 10 = 0 |
|
-9 |
2 |
-7 |
-18 |
2.x2 +14.x - 36 = 0 |
|
-1 |
-3 |
-4 |
3 |
2.x2 + 8.x + 6 = 0 |
|
1 |
-3 |
-2 |
-3 |
2.x2 + 4.x - 6 = 0 |
|
-1 |
3 |
2 |
-3 |
2.x2 - 4.x - 6 = 0 |
|
3 |
3 |
6 |
9 |
2.x2 - 12.x + 18 = 0 |
|
-3 |
-3 |
-6 |
9 |
2.x2 + 12.x + 18 = 0 |
|
0 |
5 |
5 |
0 |
2.x2 - 10.x = 0 |
|
0 |
-5 |
-5 |
0 |
2.x2 + 10.x = 0 |
|
-2 |
2 |
0 |
-4 |
2.x2 - 8 = 0 |
|
-3 |
3 |
0 |
-9 |
2.x2 - 18 = 0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
2.x2 = 0 |
12) S = 1 + 3 = 4
P = 1 . 3 = 3
x2 - 4.x + 3 = 0 agora é só multiplicar os 2 membros por - 1
-1 . x2 – (-1 . 4.x) + (-1. 3) = 0 . -1
- x2 + 4.x - 3 = 0
13) f(-1) = (-1)2 - 4. (-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8
f(0) = 02 - 4.0 + 3 = 0 – 0 + 3 = 3
f(1) = 12 - 4.1 + 3 = 1 – 4 + 3 = 0
f(2) = 22 - 4.2 + 3 = 4 – 8 + 3 = - 1
f(3) = 32 - 4.3 + 3 = 9 – 12 + 3 = 0
f(4) = 42 - 4.4+ 3 = 16 – 16 + 3 = 3
f(5) = 52 - 4.5 + 3 = 25 – 20 + 3 = 8
14) {(-1, 8), (0, 3), (1, 0), (2, - 1), (3, 0), (4, 3), (5, 8)}
15)
|
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
f(x) = y |
8 |
3 |
0 |
-1 |
0 |
3 |
8 |
16) O número na frente de x2 é - 1 > 0, portanto a concavidade é para cima.
17) f(0) = 02 - 4.0 + 3 = 0 – 0 + 3 = 3
Portanto, corta em y = 3, ou no ponto (0,3)
18) a) Às vezes, quando a = 1, é possível descobrir as raízes utilizando a propriedade da soma e produto, x2 - S.x + P = 0
Como f(x) = x2 - 4.x + 3, tentamos descobrir 2 números que multiplicados resultem 3. Sabemos que 3 . 1 = 3 e -3 . -1 = 3
Temos -4.x = - S, portanto a soma precisa ser o oposto de -4, isto é, S = 4.
-1 – 3 = -4, não serve,
1 + 3 = 4, serve, então as raízes são 1 e 3, pois P = 1.3 = 3 e –S (menos a soma) = -(1 + 3 ) = -4
Portanto, x1 = 1 e x2 = 3.
b) por Báscara.
a.x2 + b.x + c = 0
x2 - 4.x + 3 = 0
a = 1, b = - 4, c = 3
D = b2 - 4.a.c
D = - 42 - 4.1.3 = 16 – 12 = 4
x1 = -b - √D / 2.a
x1 = -(-4) - √4 / 2.1
x1 = 4 - 2 / 2
x1 = 2 / 2
x1 = 1
x2 = -b + √D / 2.a
x2 = -(-4) + √4 / 2.1
x2 = 4 + 2 / 2
x2 = 6 / 2
x2 = 3
Portanto, x1 = 1 e x2 = 3.
Assim, a parábola corta x em x1 = 1 e x2 = 3, ou nos pontos (1,0) e (3,0)
19) xv = (x1 + x2 )/2
Como as raízes são x1 = 1 e x2 = 3
xv = (1 + 3 )/2
xv = 4/2
xv = 2
20) xv = – b/2.a = - (-4) / 2.1 = 4/2 = 2
yv = – D/ 4.a = – (b2 - 4.a.c)/4.a = – ((-4)2 - 4.1.3)/4.a = - (16 – 12)/ 4.1 = -4 / 4 = - 1
21)
-concavidade para cima, pois a = 1 > 0 (número na frente de x2)
-corta y em 3, número que fica sozinho em f(x) = x2 - 4.x + 3, ou f(0) = 3, ou seja, ponto (0,3)
-raízes x1 = 1 e x2 = 3, descobrindo pela propriedade x2 - S.x + P = 0 ou resolvendo por Báscara.
-vértice (xv, yv) = (2, -1), xv = 2, pois xv = (x1 + x2 )/2 e yv = f(2) = 22 - 4.2 + 3 = -1 ou pelas propriedades xv = – b/2.a e yv = – D/ 4.a
22) a) Podemos resolver o preço obtendo o x do vértice pelas raízes ou pela propriedade.
Resolvendo pela propriedade xv = – b/2.a e yv = – D/ 4.a
xv = – 140/2.-1
xv = 70
Portanto o preço é R$ 70,00
Resolvendo pelas raízes:
a.x2 + b.x + c = 0
- x2 + 140.x – 1875 = 0
a = -1, b = 140, c = – 1875
D = b2 - 4.a.c
D = 1402 - 4.-1. – 1875 = 19600 – 7500 = 12100
x1 = -b - √D / 2.a
x1 = -140 - √12100 / 2.-1
x1 = -140 - 110 / -2
x1 = -250 / -2
x1 = 125
x2 = -b + √D / 2.a
x2 = -140 + √12100 / 2.-1
x2 = -140 + 110 / -2
x2 = -30 / -2
x2 = 15
xv = (x1 + x2 )/2
xv = (125 + 15 )/2
xv = 140 / 2
xv = 70
Portanto, o preço é R$ 70,00
b) Podemos resolver substituindo o preço:
L(x) = - x2 + 140.x – 1875
L(70) = - 702 + 140.70 – 1875
L(70) = - 4900 + 9800 – 1875
L(70) = 3025
Portanto, o lucro máximo será R$ 3.025,00
Podemos resolver pela propriedade
yv = – D/ 4.a
D = 1402 - 4.-1. – 1875 = 19600 – 7500 = 12100
yv = – 12100/ 4.-1 = 3025
Portanto o lucro máximo será R$ 3.025,00