FUNÇÃO E O CAMELÔ
EXEMPLOS PARA CONSTRUIR O CONHECIMENTO
DE FUNÇÃO DO 1º GRAU
Arrecadação na banca do camelô que vende máquinas de calcular a R$ 2,00
Um camelô vende máquinas de calcular a R$ 2,00 cada uma. Quanto arrecadará se vender:
a) uma máquina?
= R$ 2,00
x = 1
2 . 1 = 2
b) 2 máquinas?
= R$ 2,00 + R$ 2,00 = R$ 4,00
x = 2
2 + 2 = 2 . 2 = 4
c) 3 máquinas?
= R$ 2,00 + R$ 2,00 + R$ 2,00 = 3 . R$ 2,00 = R$ 6,00
x = 3
2 . 3 = 6
d) 4 máquinas?
= R$ 2,00 + R$ 2,00 + R$ 2,00 + R$ 2,00 = 4 . R$ 2,00 = R$ 8,00
x = 4
2 . 4 = 8
e) 5 máquinas?
= R$ 2,00 + R$ 2,00 + R$ 2,00 + R$ 2,00 + R$ 2,00 = 5 . R$ 2,00 = R$ 10,00
x = 5
2 . 5 = 10
f) nenhuma máquina?
x = 0
2 . 0 = 0
g) 29 máquinas?
.....................= R$ 2,00 + R$ 2,00 + .....+ R$ 2,00 = 29 . R$ 2,00 = R$ 58,00
x = 29
2 . 29 = 58
h) x máquinas?
2 . x
| Tabuada na máquina simples de calcular |
A máquina de calcular simples (que custa R$ 2,00 e tem as operações + - x / %) é ótima para fazer tabuada.
Quando multiplicamos, ela fixa o primeiro número e a operação de multiplicação. Por exemplo, na tabuada do 2, apertamos a tecla 2, a tecla X, a tecla 1, a tecla = e aparece no visor o resultado 2. A máquina fixa o 2 X
Para fazer qualquer número multiplicado por 2, basta colocar o número e apertar = Não é para apertar novamente a tecla X nem apagar o número que está no visor.
O número número que aparece no visor é o resultado.
2 X 1 = 2
2 = 4
3= 6
4= 8
5= 10
6= 12
7= 14
8= 16
9= 18
5= 10
29= 58
4= 8
SENTENÇA MATEMÁTICA
O camelô arrecada dinheiro para cada máquina vendida.
Se não vender, não arrecada.
Se vender 1 máquina, arrecada R$ 2,00.
Se vender 2 máquinas, arrecada R$ 4,00.
Se vender 3, arrecada R$ 6,00.
Se vender x máquinas, arrecada 2 . x, ou arrecada y.
y surge em função de x e a representação é f(x) = y = 2. x
Formalizando:
Se não vender, não arrecada.
f(0) = 0
Se vender 1, arrecada R$ 2,00.
f(1) = 2
Se vender 2, arrecada R$ 4,00.
f(2) = 2 . 2 = 4
Se vender 3, arrecada R$ 6,00.
f(3) = 2 . 3 = 6
Se vender 4, arrecada R$ 8,00.
f(4) = 2 . 4 = 8
Se vender 5, arrecada R$ 10,00.
f(5) = 2 . 5 = 10
A sentença matemática que mostra a receita do camelô pode ser escrita como:
f(x) = y = 2 . x
ou y = f(x) = 2 . x
ou y = 2 . x
ou f(x) = 2 . x
A função f(x) = 2 . x é a tabuada do 2
FORMALIZAÇÃO DA ARRECADAÇÃO DO CAMELÔ
Um camelô vende máquinas de calcular a R$ 2,00. Utilizando a sentença matemática f(x) = 2 . x, quanto arrecadará se vender:
a) nenhuma máquina?
x = 0
f(0) = 2 . 0 = 0
b) uma máquina?
x = 1
f(1) = 2 . 1 = 2
c) 2 máquinas?
x = 2
f(2) = 2 . 2 = 4
d) 3 máquinas?
x = 3
f(3) = 2 . 3 = 6
e) 4 máquinas?
x = 4
f(4) = 2 . 4 = 8
f) 5 máquinas?
x = 5
f(5) = 2 . 5 = 10
29 máquinas?
f(29) = 2 . 29 = 58
TABELA
A arrecadação do camelô pode ser representada em uma tabela.
|
x máquinas |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
f(x) R$ |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
PAR ORDENADO, PONTO
A arrecadação do camelô pode ser representada por um par ordenado, onde o primeiro número significa o número de máquinas vendidas e o segundo número a arrecadação do camelô: (número de máquinas vendidas, arrecadação R$)
(x, f(x))
ou (x,y)
Escreva os pares ordenados (x,y) da tabela acima.
{(0,0), (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,10)}
Os pares ordenados serão pontos do gráfico.
DOMÍNIO E IMAGEM
O número de máquinas é o conjunto de partida ou domínio da função.
D = {0,1,2,3,4, 5}
O valor arrecadado é o conjunto de chegada ou imagem da função.
I = {0, 2, 4, 6, 8, 10}
GRÁFICO CARTESIANO
A arrecadação do camelô pode ser representada em um gráfico. Isso não é nada simples, pois as continhas serão transformadas em Geometria, em pontos de um plano.
Essa representação é devida a René Descartes.
Duas retas perpendiculares são graduadas a partir do ponto de encontro.
Na reta horizontal é colocado o número de maquininhas vendidas e, na vertical, quanto foi arrecadado.
O eixo horizontal é chamado eixo das abscissas, ou eixo X.
O eixo vertical é chamado eixo das ordenadas, ou eixo Y.
Traçam-se 2 perpendiculares. A intersecção das perpendiculares é o ponto (x,y)
Por exemplo, quanto o camelô arrecadará se vender 1 máquina?
Para representar o ponto (1,2), traçamos uma perpendicular ao número 1 no eixo X, outra perpendicular ao número 2 no eixo Y. O ponto é a intersecção dessas perpendiculares.
O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta. Bastam 2 pontos para determinar uma reta, portanto, colocando 2 pontos e traçando uma reta com a régua, obtemos todas as outras contas (ponto).
Construa o gráfico de f(x) = 2.x
Suponha que x é um número real.
O gráfico ajuda muito o administrador. Por exemplo, é só olhar na reta (eixo) horizontal no 5 e subir a perpendicular, ele encontra o 10. Assim, ele sabe que vendeu 5 máquinas e sua receita é R$ 10,00.
“Microempresa”: banca do camelô que investe R$ 6,00 e vende máquinas de calcular a R$ 2,00
Um camelô ganhou máquinas de calcular da Associação dos Camelôs do Brasil, Acabra, e vende a R$ 2,00 cada uma. Foi buscá-las de ônibus e gastou R$ 2,30 para ir, R$ 2,30 para voltar e R$ 1,40 de refeição. Escreva uma sentença matemática que representa o lucro do camelô em função das máquinas vendidas.
O camelô recebe R$ 2,00 em cada máquina. Se vender uma, recebe 2; se vender 2, recebe 2.2 = 4; se vender 3, recebe 2.3 = 6; se vender x, recebe 2.x.
Mas investiu para buscar as máquinas, gastou 2,30 + 2,30 + 1,40 = R$ 6,00
Lucro = L(x) = f(x) = y = 2.x - 6
CÁLCULO f(x) = y
x é o número de máquinas.
f(x) = y é o dinheiro, o lucro que o camelô tem.
Aplicando a sentença matemática, que lucro terá em função do número de máquinas, se vender:
a) nenhuma máquina?
x = 0, f(0) = 2.0 – 6 = -6 (se não vender, terá prejuízo de R$ 6,00).
b) uma máquina?
x = 1, f(1) = 2.1 – 6 = -4 (se vender 1 máquina, terá prejuízo de R$ 4,00).
c) 2 máquinas?
x = 2, f(2) = 2.2 – 6 = -2 (se vender 2 máquinas, terá prejuízo de R$ 2,00).
d) 3 máquinas?
x = 3, f(3) = 2.3 – 6 = 0 (se vender 3 máquinas, deixará de ter prejuízo).
e) 4 máquinas?
x = 4, f(4) = 2.4 – 6 = 2 (se vender 4 máquinas, terá lucro de R$ 2,00).
f) 5 máquinas?
x = 5, f(5) = 2.5 – 6 = 4 (se vender 5 máquinas, terá lucro de R$ 4,00).
g) 6 máquinas?
x = 6, f(6) = 2.6 – 6 = 6 (se vender 6 máquinas, terá lucro de R$ 6,00).
h) 7 máquinas?
x = 7, f(7) = 2.7 – 6 = 8 (se vender 7 máquinas, terá lucro de R$ 8,00).
TABELA
Aplicando a sentença matemática acima, f(x) = 2.x - 6, represente na tabela abaixo o lucro em função do número de máquinas.
|
x máquinas |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
f(x) R$ |
-6 |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
PAR ORDENADO, PONTO
Escreva os pares ordenados (x,y) da tabela acima, que serão pontos do gráfico.
{(0,-6), (1,-4), (2,-2), (3,0), (4,2), (5,4), (6,6), (7,8)}
GRÁFICO
O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta. Bastam 2 pontos para determinar uma reta, portanto, colocando 2 pontos e traçando uma reta com a régua, obtemos todas as outras contas (ponto).
Construa o gráfico de f(x) = 2.x – 6. Suponha que x é um número real.
COEFICIENTE LINEAR (0,b)
Seja f(x) = a.x + b
O coeficiente linear é o número “sozinho”, b, e representa onde a reta corta o eixo y, pois x = 0
f(0) = a.0 + b = 0 + b = b
É o ponto (0,b)
Na função f(x) = 2.x -6, qual é o coeficiente linear, ou seja, onde a reta corta o eixo dos y?
O coeficiente linear é o número “sozinho”, ou seja, -6.
O ponto no eixo y tem x = 0
f(0 ) = 2.0 – 6 = -6
A reta corta o eixo y em -6, ou seja, no ponto (0,-6).
RAIZ DA FUNÇÃO – (x,0) – RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 1º GRAU
A raiz da função “é onde a reta corta o eixo x”, ou seja, “onde y = 0”
Seja f(x) = 2.x – 6. Quando o camelô deixará de ter prejuízo, isto é, qual a raiz da função?
Deixará de ter prejuízo quando o valor vendido for igual ao investimento, ou seja, quando f(x) = 0.
Basta resolver a equação do 1º grau.
2.x – 6 = 0
2.x = 6
x = 6/2
x = 3
A reta corta o eixo X em 3, ou seja, no ponto (3,0).
Resposta: deixará de ter prejuízo quando vender 3 máquinas.
COEFICIENTE ANGULAR – FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE
O coeficiente angular é o número que “fica na frente do x” (a.x). É a tangente do ângulo formado pela reta e o eixo das abscissas.
A função é crescente se y aumenta quando x aumenta (f(x2)>f(x1) se x2>x1). A função é decrescente se y diminui quando x aumenta (f(x2)
Se o coeficiente angular for positivo (a>0, tgα >0), a função é crescente.
Se o coeficiente angular for negativo (a<0, tg <0), a função é decrescente.
No exemplo do lucro obtido pelo camelô na função f(x) = 2.x – 6, o lucro L(x) = f(x). Quanto mais máquinas forem vendidas, maior será o lucro. Se não vender nenhuma máquina, L(0) = f(0) = - 6, que é o investimento e o coeficiente linear. O preço de cada máquina, R$ 2,00, é o coeficiente angular = 2 = tgα. O comerciante deixa de ter prejuízo quando vende 3 máquinas, L(3) = f(3) = 2.3 – 6 = 0. O número 3 (3 máquinas vendidas) é a raiz da função que é obtida pela equação 2.x – 6 = 0.
COEFICIENTE ANGULAR, TANGENTE E DERIVADA
No estudo de derivada (Matemática Aplicada), a derivada equivale à tangente, que é o coeficiente angular da reta que toca o gráfico.
Tangente, no triângulo retângulo, é um número obtido pela divisão das medidas do cateto oposto (na frente do ângulo) pelo cateto adjacente (forma o ângulo).
tgα = cateto oposto/cateto adjacente.
Observando apenas o triângulo retângulo no gráfico de f(x) = 2.x – 6 formado pelos pontos (4,2) e (3,0), temos:
cateto oposto = 2
cateto adjacente = 1
tgα = cateto oposto/cateto adjacente = 2/1 = 2
O número 2 é o coeficiente angular, a tangente e a derivada que será vista em Matemática Aplicada.
TRANSFORMAÇÃO EM f(x) = y = a.x + b
Basta “deixar o y sozinho.”
Exemplo:
4.x – 12 – 2y = 0
4.x – 12 = 2y
(4.x – 12)/2 = y
2.x – 6 = y
Assim, obtemos a forma reduzida y = f(x) = 2.x – 6, onde 2 é o coeficiente angular e – 6 é o coeficiente linear.
As funções 4.x - 12 - 2y = 0 e f(x) = y = 2.x - 6 são a mesma função, pois para cada x temos o mesmo y que torna a função verdadeira..
“Microempresa”: camelô vende máquinas de calcular em consignação e recebe a metade
A Associação dos Camelôs Independentes – Acin – propôs ao camelô que, em vez de buscar as máquinas na Acabra, vendesse em consignação, pois seria melhor negócio. O camelô recebe na sua banca as máquinas e as vende por R$ 2,00, ficando com 50%, ou seja fica com R$ 1,00. Assim, vendendo as máquinas da Acin não teria que investir e não teria prejuízo.
SENTENÇA MATEMÁTICA DA ACIN
O camelô recebe R$ 1,00 por máquina.
Se não vender, não arrecada, mas não tem prejuízo. A Acin argumenta que é vantagem vender as máquinas em consignação.
Se vender 1 máquina, o camelô arrecada R$ 1,00.
Se vender 2 máquinas, arrecada R$ 2,00.
Se vender 3, arrecada R$ 3,00.
Se vender x máquinas, arrecada y = x.
y surge em função de x e a representação é f(x) = y = x.
Formalizando:
Se não vender, não arrecada.
f(0) = 0
Se vender 1, arrecada R$ 1,00.
f(1) = 1
Se vender 2, arrecada R$ 2,00.
f(2) = 2
Se vender 3, arrecada R$ 3,00.
f(3) = 3
A sentença matemática que mostra a arrecadação do camelô pode ser escrita como:
f(x) = y = x
ou y = f(x) = x
ou y = x
ou f(x) =x
FORMALIZAÇÃO DA ARRECADAÇÃO DO CAMELÔ DA ACIN
Um camelô vende máquinas de calcular a R$ 2,00 e tem lucro de R$ 1,00. Utilizando a sentença matemática f(x) = x, quanto arrecadará se vender:
a) nenhuma máquina?
x = 0
f(0) = 0 = 0
b) uma máquina?
x = 1
f(1) = 1 = 1
c) 2 máquinas?
x = 1
f(2) = 2 = 2
d) 3 máquinas?
x = 3
f(3) = 3
e) 4 máquinas?
x = 4
f(4) = 4
f) 5 máquinas?
x = 5
f(5) = 5
g) 6 máquinas?
x = 6
F(6) = 6
h) 7 máquinas?
x = 7
F(7) = 7
TABELA
A arrecadação do camelô pode ser representada em uma tabela.
|
x máquinas |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
f(x) R$ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
PAR ORDENADO, PONTO
A arrecadação do camelô pode ser representada por um par ordenado, onde o primeiro número significa o número de máquinas vendidas e o segundo número a arrecadação do camelô: (número de máquinas vendidas, arrecadação R$)
ou (x, f(x))
ou (x,y)
Escreva os pares ordenados (x,y) da tabela acima.
{(0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (7,7)}
GRÁFICO
Construa o gráfico da função f(x) = x, que representa o lucro do camelô quando compra da Acin.
A reta é a bissetriz do 1º quadrante.
COEFICIENTE LINEAR de f(x) = x
Seja f(x) = a.x + b
O coeficiente linear é o número “sozinho”, b, e representa onde a reta corta o eixo y, pois x = 0
f(0) = a.0 + b = 0 + b = b
É o ponto (0,b)
Na função f(x) = x, qual é o coeficiente linear, ou seja, onde a reta corta o eixo dos y?
O coeficiente linear é o número “sozinho”, ou seja, 0.
O ponto no eixo y tem x = 0
f(0 ) = 0
Assim, a função do camelô que compra na Acin intercepta o eixo dos y em (0,0).
RAIZ DA FUNÇÃO – (x,0) – RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 1º GRAU
A raiz da função “é onde a reta corta o eixo x”, ou seja, “onde y = 0”
Seja f(x) = x.
f(x) = 0.
Basta resolver a equação do 1º grau.
x = 0
Portanto, corta o eixo x em 0, ou seja, no ponto (0,0).
Neste exemplo, o ponto onde a reta corta o eixo dos x é o mesmo em que corta o eixo dos y.
COEFICIENTE ANGULAR
O coeficiente angular é o número “na frente” do x.
f(x) = x
f(x) = 1.x
Portanto, coeficiente angular = 1, que é igual à tangente e à derivada (que será vista em Matemática Aplicada).
Neste caso, o ângulo é de 45º e tg 45º = 1.
ANÁLISE E DECISÃO: ONDE ADQUIRIR AS MÁQUINAS?
Onde o camelô deve adquirir as máquinas?
Podem ser feitas várias análises.
Comparação de tabelas
Lucro pela Acabra, f(x) = 2.x - 6:
|
x máquinas |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
f(x) |
-6 |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
Lucro pela Acin, f(x) = x
|
x máquinas |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
f(x) R$ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Observando as tabelas, o lucro é maior pela Acin até 5 máquinas. O lucro é igual se forem vendidas 6 máquinas. O lucro é maior pela Acabra a partir de 7 máquinas vendidas.
Comparação de gráficos
Observando-se os gráficos, o ponto de intersecção é (6,6). Esse ponto também pode ser obtido algebricamente resolvendo o sistema de equações.
Olhando o gráfico, percebe-se que o lucro é maior pela Acin até a 5ª máquina. É igual quando são vendidas 6. É maior pela Acabra a partir da 7ª.
Comparando as derivadas
O coeficiente angular equivale à tangente que a reta forma com o eixo dos X. É a inclinação da reta. É a derivada.
Quanto maior a derivada, maior é o ângulo, ou seja, o crescimento do lucro.
O lucro pela Acabra ultrapassa em certo momento ao da Acin, pois a derivada da função da Acabra = 2 é maior do que a derivada = 1, da Acin,.
FUNÇÃO DO 1º GRAU: RESUMO DAS PROPRIEDADES
Uma função pode ser representada por tabela, diagrama, conjunto de pares ordenados, sentença matemática, gráfico.
Em uma função do 1º grau, o domínio e a imagem são os números reais.
O gráfico cartesiano (René Descartes) é composto por 2 eixos ortogonais (ângulo reto). O eixo dos x, horizontal, também chamado de eixo das abscissas, é graduado para a direita com números positivos a partir do zero, e negativos para a esquerda. O eixo dos y, vertical, também chamado eixo das ordenadas, é graduado para cima com números positivos a partir do zero, e negativos para baixo. Para obter o ponto traçam-se perpendiculares por x e y: o encontro das perpendiculares é o ponto.
O gráfico da função do 1º grau é uma reta. As continhas são os pontos (x,y). Bastam 2 pontos para determinar uma reta, então, bastam 2 contas.
Forma reduzida da função do 1º grau: f(x) = y = a.x + b
O y ou f(x) vem em função do x. Por exemplo, em f(x) = 2.x – 6, f(0) = 2.0 – 6 = -6, que é o ponto (0,-6)
b é o coeficiente linear, onde a reta “corta” o eixo dos y: ponto (0, b)
A reta “corta” o eixo dos x (abscissa) no ponto (x,0) e é encontrado resolvendo a equação do primeiro grau a.x + b = 0
O coeficiente angular é o número que “fica na frente do x” (a.x). É a tangente do ângulo formado pela reta e o eixo das abscissas. Tangente, no triângulo retângulo, é um número obtido pela divisão das medidas do cateto oposto (na frente do ângulo) pelo cateto adjacente (forma o ângulo). tgα = cateto oposto/cateto adjacente.
A função é crescente se y aumenta quando x aumenta (f(x2)>f(x1) se x2>x1).
A função é decrescente se y diminui quando x aumenta (f(x2)
Se o coeficiente angular for positivo (a>0, tgα >0), a função é crescente.
Se o coeficiente angular for negativo (a<0, tg <0), a função é decrescente.
No exemplo, o lucro obtido pelo camelô pode ser escrito como L(x) = f(x) = 2.x – 6. Quanto mais máquinas forem vendidas, maior será o lucro. Se não vender nenhuma máquina, L(0) = f(0) = - 6, que é o investimento e o coeficiente linear. O preço de cada máquina, R$ 2,00, é o coeficiente angular = 2 = tgα. O comerciante deixa de ter prejuízo quando vende 3 máquinas, L(3) = f(3) = 2.3 – 6 = 0. O número 3 (3 máquinas vendidas) é a raiz da função que é obtida pela equação 2.x – 6 = 0.
No estudo de derivada (Matemática Aplicada), a derivada equivale à tangente, que é o coeficiente angular na função f(x) = y = a.x + b .
Nas funções abaixo, encontre o coeficiente angular, a tangente da reta, a derivada e diga se a função é crescente ou decrescente observando o coeficiente angular.
|
função |
coeficiente angular |
tangente |
derivada |
crescente decrescente |
|
f(x) = 2.x - 6 |
2 |
2 |
2 |
crescente |
|
f(x) = 3.x + 12 |
3 |
3 |
3 |
crescente |
|
f(x) = 2.x |
2 |
2 |
2 |
crescente |
|
f(x) = 1/5.x+4 |
1/5 |
1/5 |
1/5 |
crescente |
|
f(x) = x |
1 |
1 |
1 |
crescente |
|
f(x) = x + 0,03 |
1 |
1 |
1 |
crescente |
|
f(x) = 0,4.x -8 |
0,4 |
0,4 |
0,4 |
crescente |
|
f(x) = -3.x + 6 |
-3 |
-3 |
-3 |
decrescente |
|
f(x) = -7.x + 5 |
-7 |
-7 |
-7 |
decrescente |
|
f(x) = -2.x - 6 |
-2 |
-2 |
-2 |
decrescente |
|
f(x) = -x + 1/2 |
-1 |
-1 |
-1 |
decrescente |
|
f(x) = -87.x |
-87 |
-87 |
-87 |
decrescente |
|
y = 2.x - 6 |
2 |
2 |
2 |
crescente |
|
2.x – 6 = y |
2 |
2 |
2 |
crescente |
Nas funções abaixo, encontre o coeficiente linear e o ponto em que a reta corta (intersecção) o eixo das ordenadas (eixo y).
|
função |
coeficiente linear |
Ponto onde intercepta y |
|
f(x) = 2.x - 6 |
-6 |
(0, -6) |
|
f(x) = 3.x + 12 |
12 |
(0, 12) |
|
f(x) = 2.x |
0 |
(0, 0) |
|
f(x) = 1/5.x+4 |
4 |
(0, 4) |
|
f(x) = x |
0 |
(0, 0) |
|
f(x) = x + 0,03 |
0,03 |
(0, 0,03) |
|
f(x) = 0,4.x -8 |
-8 |
(0, -8) |
|
f(x) = -3.x + 6 |
6 |
(0, 6) |
|
f(x) = -7.x + 5 |
5 |
(0, 5) |
|
f(x) = -2.x - 6 |
-6 |
(0, -6) |
|
f(x) = -x + 1/2 |
1/2 ou 0,5 |
(0, 1/2) = (0, 0,5) |
|
f(x) = -87.x |
0 |
(0, 0) |
|
y = 2.x - 6 |
-6 |
(0, -6) |
|
2.x – 6 = y |
-6 |
(0, -6) |
RAIZ DA FUNÇÃO DETERMINADA PELA EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Para encontrar a raiz da função, basta resolver a equação do 1º grau. Esse número é onde a reta corta o eixo das abscissas, eixo x, (0, raiz), (0, x).
Encontre a raiz de f(x) = 2.x – 6
2.x – 6 = 0
2.x = 6
x = 6/2
x = 3
Ponto onde corta x (3, 0)
Determine a raiz e o ponto onde a reta corta o eixo das abscissas.
|
função |
raiz |
Ponto onde intercepta x |
|
f(x) = 2.x - 6 |
3 |
(3 , 0) |
|
f(x) = 3.x + 12 |
-4 |
(-4 , 0) |
|
f(x) = 2.x |
0 |
(0 , 0) |
|
f(x) = 1/5.x+4 |
-20 |
(-20 , 0) |
|
f(x) = x |
0 |
(0 , 0) |
|
f(x) = x + 0,03 |
-0,03 |
(-0,03 , 0) |
|
f(x) = 0,4.x -8 |
20 |
(20 , 0) |
|
f(x) = -3.x + 6 |
2 |
(2 , 0) |
|
f(x) = -7.x + 5 |
5/7 |
(5/7 , 0) |
|
f(x) = -2.x - 6 |
-3 |
(-3 , 0) |
|
f(x) = -x + 1/2 |
1/2 |
(1/2 , 0) |
|
f(x) = -87.x |
0 |
(0 , 0) |
|
y = 2.x - 6 |
3 |
(3 , 0) |
|
2.x – 6 = y |
3 |
(3 , 0) |
EXERCÍCIO – FUNÇÃO DECRESCENTE
Seja f(x) = -3.x + 6
a) Encontre:
a1) f(-1) = -3.(-1) + 6 = 3 + 6 = 9
a2) f(0) = -3.0 + 6 = 6
a3) f(1) = -3.1 + 6 = 3
a4) f(2) = -3.2 + 6 = -6 + 6 = 0
a5) f(3) = -3.3 + 6 = - 9 + 6 = -3
b) Complete a tabela:
|
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
y |
9 |
6 |
3 |
0 |
-3 |
c) Escreva os pares ordenados:
{(-1,9), (0, 6), (1, 3), (2, 0), (3, -3)}
d) Responda:
d1) Qual o coeficiente angular?
Coeficiente angular = -3
d2) Qual a tangente?
Tangente = -3
d3) Qual a derivada?
Derivada = -3
d4) A função é crescente ou decrescente?
É decrescente porque o coeficiente angular é negativo.
É decrescente porque, quando o x aumenta, y diminui.
e) Responda:
e1) Qual o coeficiente linear?
Coeficiente linear = 6
e2) Calcule f(0)
f(0) = -3. 0 + 6 = 6 = coeficiente linear.
e3) Em que ponto a reta intercepta o eixo das ordenadas (eixo y)?
(0, -6)
f) Responda:
f1) Qual a raiz da função?
Basta resolver a equação do 1º grau.
-3.x + 6 =0
-3.x = -6
x = -6/-3 = 2
f2) Em que ponto a reta intercepta o eixo das abscissas?
(0, 2)
g) Construa o gráfico de f(x) -3.x + 6 = 0
Construa o gráfico com os pontos (0, 6) e (2, 0).
Observando o gráfico:
g1) Em que ponto a reta corta o eixo das ordenadas?
Ponto (0,6)
g2) Em que ponto a reta corta o eixo das abscissas?
Ponto (2,0)
g3) A função é crescente ou decrescente?
Decrescente, porque y diminui quando x cresce.
LISTA DE EXERCÍCIOS DE FUNÇÃO E EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Esta lista de exercícios é um estudo dirigido e visa apenas o aprendizado.
Os exercícios estão em seqüência para “nascerem” os conceitos e propriedades naturalmente. Primeiro leia a teoria, depois siga a ordem desde o começo até o fim, o que facilitará o aprendizado. Os exercícios são os mesmos feitos e acima neste link. Resolva, em seguida confira os resultados com as respostas abaixo e, em caso de dúvida, veja a teoria, pois a explicação está lá. Você resolverá facilmente se tiver lido a teoria.
1) Um camelô vende máquinas de calcular a R$ 2,00 cada uma. Quanto arrecadará se vender:
a) uma máquina?
b) 2 máquinas?
c) 3 máquinas?
d) 4 máquinas?
e) nenhuma máquina?
f) 29 máquinas?
g) x máquinas?
3) f(x) = y = 2. x
Calcule:
a) f(0) =
b) f(1) =
c) f(2) =
d) f(3) =
e) f(4) =
4) Coloque na tabela os valores de f(x) = 2.x
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
f(x) |
|
|
|
|
|
5) Escreva os pares ordenados (x,y) da tabela acima.
6) Escreva o domínio da função da tabela acima.
D =
7) Escreva a imagem da função da tabela acima.
I =
8) Represente no gráfico cartesiano o ponto (1,2).
9) Um camelô ganhou máquinas de calcular da Associação dos Camelôs do Brasil, Acabra, e vende a R$ 2,00 cada uma. Foi buscá-las de ônibus e gastou R$ 2,30 para ir, R$ 2,30 para voltar e R$ 1,40 de refeição. Escreva uma sentença matemática que representa o lucro do camelô em função das máquinas vendidas.
10) Com base no exercício acima, que lucro o camelô terá em função do número de máquinas, se vender:
a) nenhuma máquina?
b) uma máquina?
c) 2 máquinas?
d) 3 máquinas?
e) 4 máquinas?
f) 5 máquinas?
g) 6 máquinas?
h) 7 máquinas?
11) Aplicando a sentença matemática f(x) = y = 2.x - 6, calcule:
a) f(0) =
b) f(1) =
c) f(2) =
d) f(3) =
e) f(4) =
f) f(5) =
g) f(6) =
h) f(7)
12) Aplicando a sentença matemática f(x) = 2.x - 6, complete a tabela
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
13) Escreva os pares ordenados (x,y) da tabela acima.
14) Construa o gráfico de f(x) = 2.x – 6. Suponha que x é um número real.
15) Na função f(x) = 2.x -6,
a) qual é o coeficiente linear?
b) Em que ponto a reta corta o eixo y?
16) Seja f(x) = 2.x – 6, que representa o lucro do camelô dos exercícios acima.
a) Quando o camelô deixará de ter prejuízo?
b) Em que ponto a reta corta o eixo das abscissas?
17) Na função f(x) = 2.x – 6:
a) Qual o coeficiente angular?
b) Qual a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas?
c) Qual a derivada de f(x) = 2.x – 6
18) A Associação dos Camelôs Independentes – Acin – propôs ao camelô que, em vez de buscar as máquinas na Acabra, vendesse em consignação, pois seria melhor negócio. O camelô recebe na sua banca as máquinas e as vende por R$ 2,00, ficando com 50%, ou seja fica com R$ 1,00. Assim, vendendo as máquinas da Acin não teria que investir e não teria prejuízo. Qual o lucro do camelô se vender:
a) nenhuma máquina?
b) 1 máquina?
c) 2 máquinas?
d) 3 máquinas?
19) Qual a sentença matemática que descreve o lucro acima do camelô que vende as máquinas da Acin em consignação?
20) Com base no exercício acima, aplicando a sentença matemática L(x) = f(x) = y = x, calcule o lucro do camelô em função do número de máquinas:
a) Se não vender, não arrecada.
f(0) =
b) Se vender 1 máquina,
f(1) =
c) Se vender 2 máquinas,
f(2) =
d) Se vender 3 máquinas,
f(3) =
21) Complete a tabela utilizando a sentença matemática f(x) = x
|
x máquinas |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
f(x) R$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
22) Escreva os pares ordenados (x,y) da tabela acima.
23) Construa o gráfico da função f(x) = x, que representa o lucro do camelô quando compra da Acin.
24) Na função f(x) = x
a) Qual o coeficiente angular?
b) Qual a tangente da reta?
c) Qual a derivada?
d) A função f(x) = x é crescente ou decrescente?
25) Nas funções abaixo, encontre o coeficiente angular, a tangente da reta, a derivada e diga se a função é crescente ou decrescente observando o coeficiente angular.
|
função |
coeficiente angular |
tangente |
derivada |
crescente decrescente |
|
f(x) = 2.x - 6 |
2 |
2 |
2 |
crescente |
|
f(x) = 3.x + 12 |
|
|
|
|
|
f(x) = 2.x |
|
|
|
|
|
f(x) = 1/5.x+4 |
|
|
|
|
|
f(x) = x |
|
|
|
|
|
f(x) = x + 0,03 |
|
|
|
|
|
f(x) = 0,4.x -8 |
|
|
|
|
|
f(x) = -3.x + 6 |
|
|
|
|
|
f(x) = -7.x + 5 |
|
|
|
|
|
f(x) = -2.x - 6 |
|
|
|
|
|
f(x) = -x + 1/2 |
|
|
|
|
|
f(x) = -87.x |
|
|
|
|
|
y = 2.x - 6 |
|
|
|
|
|
2.x – 6 = y |
|
|
|
|
26) Nas funções abaixo, encontre o coeficiente linear e o ponto em que a reta corta (intersecção) o eixo das ordenadas (eixo y).
|
função |
coeficiente linear |
Ponto onde intercepta y |
|
f(x) = 2.x - 6 |
-6 |
(0, -6) |
|
f(x) = 3.x + 12 |
|
|
|
f(x) = 2.x |
|
|
|
f(x) = 1/5.x+4 |
|
|
|
f(x) = x |
|
|
|
f(x) = x + 0,03 |
|
|
|
f(x) = 0,4.x -8 |
|
|
|
f(x) = -3.x + 6 |
|
|
|
f(x) = -7.x + 5 |
|
|
|
f(x) = -2.x - 6 |
|
|
|
f(x) = -x + 1/2 |
|
|
|
f(x) = -87.x |
|
|
|
y = 2.x - 6 |
|
|
|
2.x – 6 = y |
|
|
27) Determine a raiz e o ponto onde a reta corta o eixo das abscissas.
|
função |
raiz |
Ponto onde intercepta x |
|
f(x) = 2.x - 6 |
3 |
(3 , 0) |
|
f(x) = 3.x + 12 |
|
|
|
f(x) = 2.x |
|
|
|
f(x) = 1/5.x+4 |
|
|
|
f(x) = x |
|
|
|
f(x) = x + 0,03 |
|
|
|
f(x) = 0,4.x -8 |
|
|
|
f(x) = -3.x + 6 |
|
|
|
f(x) = -7.x + 5 |
|
|
|
f(x) = -2.x - 6 |
|
|
|
f(x) = -x + 1/2 |
|
|
|
f(x) = -87.x |
|
|
|
y = 2.x - 6 |
|
|
|
2.x – 6 = y |
|
|
28) Seja f(x) = -3.x + 6
a) Encontre:
a1) f(-1) =
a2) f(0) =
a3) f(1) =
a4) f(2) =
a5) f(3) =
b) Complete a tabela:
|
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
y |
|
|
|
|
|
c) Escreva os pares ordenados:
d) Responda:
d1) Qual o coeficiente angular?
d2) Qual a tangente?
d3) Qual a derivada?
d4) A função é crescente ou decrescente?
e) Responda:
e1) Qual o coeficiente linear?
e2) Calcule f(0)
e3) Em que ponto a reta intercepta o eixo das ordenadas (eixo y)?
f) Responda:
f1) Qual a raiz da função?
f2) Em que ponto a reta intercepta o eixo das abscissas?
g) Observe o gráfico de f(x) -3.x + 6 = 0, que foi construído utilizando os pontos (0, 6) e (2, 0).
g1) Em que ponto a reta corta o eixo das ordenadas?
g2) Em que ponto a reta corta o eixo das abscissas?
g3) A função é crescente ou decrescente?
RESPOSTAS
1) a) x = 1
2 . 1 = 2
b) x = 2
2 . 2 = 4
c) x = 3
2 . 3 = 6
d) x = 4
2 . 4 = 8
e) x = 0
2 . 0 = 0
f) x = 29
2.29 = 58
g) 2.x
3) a) f(0) = 2 . 0 = 0
b) f(1) = 2 . 1 = 2
c) f(2) = 2 . 2 = 4
d) f(3) = 2 . 3 = 6
e) f(4) = 2 . 4 = 8
4)
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
f(x) |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
5){(0,0), (1,2), (2,4), (3,6), (4,8)}
6) D = {0,1,2,3,4}
7) I = {0, 2, 4, 6, 8}
8)
9) O camelô recebe R$ 2,00 em cada máquina. Se vender uma, recebe 2; se vender 2, recebe 2.2 = 4; se vender 3, recebe 2.3 = 6; se vender x, recebe 2.x.
Mas investiu para buscar as máquinas, gastou 2,30 + 2,30 + 1,40 = R$ 6,00
Lucro
= L(x) = f(x) = y = 2.x - 6
10) a)x = 0, f(0) = 2.0 – 6 = -6 (se não vender, terá prejuízo de R$ 6,00).
b) x = 1, f(1) = 2.1 – 6 = -4 (se vender 1 máquina, terá prejuízo de R$ 4,00).
c) x = 2, f(2) = 2.2 – 6 = -2 (se vender 2 máquinas, terá prejuízo de R$ 2,00).
d) x = 3, f(3) = 2.3 – 6 = 0 (se vender 3 máquinas, deixará de ter prejuízo).
e) x = 4, f(4) = 2.4 – 6 = 2 (se vender 4 máquinas, terá lucro de R$ 2,00).
f) 5 máquinas?
x = 4, f(5) = 2.5 – 6 = 4 (se vender 5 máquinas, terá lucro de R$ 4,00).
g) 6 máquinas?
x = 6, f(6) = 2.6 – 6 = 6 (se vender 6 máquinas, terá lucro de R$ 6,00).
h) 7 máquinas?
x = 7, f(7) = 2.7 – 6 = 8 (se vender 7 máquinas, terá lucro de R$ 8,00).
11) a) f(0) = 2.0 – 6 = -6
b) f(1) = 2.1 – 6 = -4
c) f(2) = 2.2 – 6 = -2
d) f(3) = 2.3 – 6 = 0
e) f(4) = 2.4 – 6 = 2
f) f(5) = 2.5 – 6 = 4
g) f(6) = 2.6 – 6 = 6
h) f(7) = 2.7 – 6 = 8
12)
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
f(x) |
-6 |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
13) {(0,-6), (1,-4), (2,-2), (3,0), (4,2), (5,4), (6,6), (7,8)}
14)
15)a) O coeficiente linear é o número “sozinho”, ou seja, -6.
b) No coeficiente linear, em -6, pois f(0) = 2.0 – 6 = -6
Portanto, a reta corta o eixo das ordenadas, eixo y, no ponto (0,-6).
16) a) Deixará de ter prejuízo quando o valor vendido for igual ao investimento, ou seja, quando f(x) = 0.
Basta resolver a equação do 1º grau.
2.x – 6 = 0
2.x = 6
x = 6/2
x = 3
Resposta: deixará de ter prejuízo quando vender 3 máquinas.
b) A reta corta o eixo X em 3, ou seja, no ponto (0,3).
17) a) O coeficiente angular é o número que está na frente do x na função f(x) = a.x + b, portanto é o número 2, que corresponde à tangente da reta e à derivada.
Portanto, coeficiente angular = 2
b) tangente = 2
c) derivada = 2
18) a) Se não vender, não arrecada, mas não tem prejuízo.
b) Se vender 1 máquina, o camelô arrecada R$ 1,00.
c) Se vender 2 máquinas, arrecada R$ 2,00.
d) Se vender 3, arrecada R$ 3,00.
19) f(x) = y = x.
20) a) f(0) = 0
b) f(1) = 1
c) f(2) = 2
d)f(3) = 3
21)
|
x máquinas |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
f(x) R$ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
22) {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (7,7)}
23)
24) a)O coeficiente angular é o número que está na frente do x.
f(x) = x
f(x) = 1.x
Portanto, coeficiente angular = 1.
b) A tangente é igual ao coeficiente angular, portanto = 1
c) Na função do 1º grau, a derivada coincide com o coeficiente angular, portanto derivada = 1.
d) A função é crescente porque o coeficiente angular é positivo. A função é crescente porque y aumenta quando x aumenta.
25)
|
função |
coeficiente angular |
tangente |
derivada |
crescente decrescente |
|
f(x) = 2.x - 6 |
2 |
2 |
2 |
crescente |
|
f(x) = 3.x + 12 |
3 |
3 |
3 |
crescente |
|
f(x) = 2.x |
2 |
2 |
2 |
crescente |
|
f(x) = 1/5.x+4 |
1/5 |
1/5 |
1/5 |
crescente |
|
f(x) = x |
1 |
1 |
1 |
crescente |
|
f(x) = x + 0,03 |
1 |
1 |
1 |
crescente |
|
f(x) = 0,4.x -8 |
0,4 |
0,4 |
0,4 |
crescente |
|
f(x) = -3.x + 6 |
-3 |
-3 |
-3 |
decrescente |
|
f(x) = -7.x + 5 |
-7 |
-7 |
-7 |
decrescente |
|
f(x) = -2.x - 6 |
-2 |
-2 |
-2 |
decrescente |
|
f(x) = -x + 1/2 |
-1 |
-1 |
-1 |
decrescente |
|
f(x) = -87.x |
-87 |
-87 |
-87 |
decrescente |
|
y = 2.x - 6 |
2 |
2 |
2 |
crescente |
|
2.x – 6 = y |
2 |
2 |
2 |
crescente |
26)
|
função |
coeficiente linear |
Ponto onde intercepta y |
|
f(x) = 2.x - 6 |
-6 |
(0, -6) |
|
f(x) = 3.x + 12 |
12 |
(0, 12) |
|
f(x) = 2.x |
0 |
(0, 0) |
|
f(x) = 1/5.x+4 |
4 |
(0, 4) |
|
f(x) = x |
0 |
(0, 0) |
|
f(x) = x + 0,03 |
0,03 |
(0, 0,03) |
|
f(x) = 0,4.x -8 |
-8 |
(0, -8) |
|
f(x) = -3.x + 6 |
6 |
(0, 6) |
|
f(x) = -7.x + 5 |
5 |
(0, 5) |
|
f(x) = -2.x - 6 |
-6 |
(0, -6) |
|
f(x) = -x + 1/2 |
1/2 ou 0,5 |
(0, 1/2) = (0, 0,5) |
|
f(x) = -87.x |
0 |
(0, 0) |
|
y = 2.x - 6 |
-6 |
(0, -6) |
|
2.x – 6 = y |
-6 |
(0, -6) |
27) a1) f(-1) = -3.(-1) + 6 = 3 + 6 = 9
a2) f(0) = -3.0 + 6 = 6
a3) f(1) = -3.1 + 6 = 3
a4) f(2) = -3.2 + 6 = -6 + 6 = 0
a5) f(3) = -3.3 + 6 = - 9 + 6 = -3
b)
|
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
y |
9 |
6 |
3 |
0 |
-3 |
c) {(-1,9), (0, 6), (1, 3), (2, 0), (3, -3)}
d) d1) Coeficiente angular = -3
d2) Tangente = -3
d3) Derivada = -3
d4) É decrescente porque o coeficiente angular é negativo.
É decrescente porque y diminui quando x aumenta.
e1) Coeficiente linear = 6
e2) f(0) = -3. 0 + 6 = 6 = coeficiente linear.
e3) (0, -6)
f1) Basta resolver a equação do 1º grau.
-3.x + 6 =0
-3.x = -6
x = -6/-3 = 2
f2) (2,0)
g1) Ponto (0,6)
g2) Ponto (2,0)
g3) Decrescente porque o coeficiente angular é negativo = - 3. Decrescente, porque y diminui quando x cresce.